Extremvärden och derivata

Bestäm ett funktionsuttryck som har en lokal maximipunkt i (1, 2) och en lokal minimipunkt i (5, 4)

1 Vi har extrempunkter i X=1 och X=5. Vilket medför att f'(1) = 0 och att f'(5) = 0
2 Det borde vara minst en tredjegradsekvation
3 f'(X) rötter är   $X_1$ = 1 och   $X_2$ = 5
4 Pq-formeln baklänges: X = 3 $\pm$ 2 (från nollställena X = 1 och X = 5)  X = 3  $\pm \sqrt{4}$
    X = $-$$\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{3^2-5}$      ger då f'(X) = $X^2$ $-$ 6X + 5  medför att f''(X) = 2X - 6 

Med vad jag nu kände till gjorde jag en skiss för att förstå bättre. Jag kände bara till 5 punkter så en del stämmer inte, men att andragradsekvationen skulle vara en "glad mun" visste jag ju.

5 Nu deriverade jag f'(x) baklänges för att få f(X) = $\frac{1}{3}$$X^3$ $-$ 3$X^2$  + 5$X$ + a
6 Från min och maxpunkterna visste jag att f(1) = 2 och f(5) = -4
7 Det satte jag in i f(X) och fick att a var lika med - 1/3 eller + 5 och 2/3
8 Nu kom grafräknaren fram och kurvor studerades.
9 Jag insåg efter kik i facit och ovanstående övning att jag behövde en faktor till framför termer med X i.  Efter mycket exprimenterande fick jag fram rätt svar, men precis nu ser jag att jag gick fel väg. När jag nu testat att sätta in en term b direkt i min funktion kunde jag få ut lösningen till a.

Det tog mer eller mindre min lediga tid den här helgen så har ni tips så är jag glad om det går att komma fram till det här på ett enklare vis.

En kort presentation av mig är att jag repeterar gymnasiematten jag läste 1970-1972 på elkraftlinjen på vuxengymnasiet i Katrineholm. Jag har kommit till 3c i Matematik Origo extremvärden och derivata och är jätteglad att ha hittat detta forum.