Extremvärden för funktionen f(x,y)

Hej!

Uppgiften jag jobbar med nu lyder:

Bestäm största och minsta värdet för funktionen $f (x, y) = e^{x} + e^{y} - 2 e^{\frac{(x + y)}{2}}$ på mängden $(x, y) : x, y \geq 0, x + y \leq 2$ .

Jag har beräknat den partiella derivatan och fått fram att

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} - e^{\frac{x + y}{2}}$ och

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{y} - e^{\frac{x + y}{2}}$ .

Jag satte derivatan till $0$ och fick ekvationssystemet

$\{\begin{cases} e^{x} - e^{\frac{x + y}{2}} = 0 \\ e^{y} - e^{\frac{x + y}{2}} = 0 \end{cases}$

vilket ger oss att $x = y$ .

Om vi då sätter in $x$ istället för $y$ i en av ekvationerna så får vi

$e^{x} - e^{\frac{2 x}{2}} = e^{x} - e^{x} = 0$ och får därför att $0 = 0$ .

Här kör jag fast. Hur gör jag för att fortsätta hitta max och min? Har jag gjort rätt så här långt?

Nu när du har undersökt att stationära punkter i mängden återstår det att undersöka mängdens rand.

Kolla vad f(x, y) blir när x = y.

Man kan ha nytta av att f(x, y) = (e^x/2 - e^y/2)².

När $x = y$ , vi sätter $x, y = t$ , så kommer så kommer $f (x, y)$ att bli

$f (t, t) = e^{t} + e^{t} - 2 e^{t} = 0$ .

När det gäller mängdens rand har vi formen av en triangel och vi får titta på de tre olika sidorna var för sig. De olika gränserna är $x = 0$ , $y = 0$ och $x + y = 2$ .

Då $x = 0$ får vi $f (0, y) = 1 + e^{y} - 2 e^{\frac{y}{2}}$ .

Vi sätter derivatan av detta till $0$ och får att

$e^{y} - e^{\frac{y}{2}} = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = \frac{y}{2}$ $\Leftrightarrow$ $2 = 1$ , vilket ju inte stämmer.

Så antingen har jag gjort fel någonstans eller så är slutsatsen att den ekvationen saknar lösning och att det alltså inte finns någon extrempunkt på den delen av randen. För $y = 0$ så kommer det se precis likadant ut.

För $x + y = 2$ sätter vi $x = t$ och $y = 2 - t$ vilket ger oss ekvationen $e^{t} + e^{2 - t} - 2 e$ .

Vi deriverar och får $e^{t} - e^{2 - t}$ .

När vi sätter derivatan till $0$ så får vi att $t = 1$ vilket då skulle kunna vara ett möjligt största värde.

Ser det rätt ut så? Det skulle väl i så fall betyda att funktionens minsta värde är $0$ och det största är $1$ ?

Hur mycket är f(2, 0)?

$f (2, 0) = e^{2} + e^{0} - 2 e = e^{2} - 2 e + 1$

Så det största värdet måste vara större än 1. Hur kommer jag hit?

y = y/2 har lösningen y = 0.

Betyder det då att $f (0, 0)$ är ett möjligt största/minsta värde?

Svara

Visa senaste svar