Extremvärden

"Ett företag ska tillverka små burkar med volymen 900cm3. Burkarna ska vara utan lock och ha formen av ett rätblock med kvadratisk bottenyta. Materialet till sidoytorna kostar dubbelt så mycket per cm2 som materialet till botten.

Vilka dimensioner på burken ger lägsta möjliga materialkostnad?"

Mitt svar:
Botten är $x^{2}$ och kostnaden för det är a
Jag gissar på att man ska använda volymen på figuren för att ta reda på höjden, på följande sätt.
$x^{2} \cdot h = 900 h = \frac{900}{x^{2}}$

Nu känner jag alla sidor + botten och jag definerar dessa:
$A_{b} = x^{2} A_{s} = x \cdot \frac{900}{x^{2}} = \frac{900}{x}$ Vi har en bottenplatta och 4 st sidoplattor. Okej då ger det att kostnaden är.. Får inte riktigt till en formel för detta. Kan någon vara snäll och försöka förklara tack.

MattePapput skrev :
"Ett företag ska tillverka små burkar med volymen 900cm3. Burkarna ska vara utan lock och ha formen av ett rätblock med kvadratisk bottenyta. Materialet till sidoytorna kostar dubbelt så mycket per cm2 som materialet till botten.

Vilka dimensioner på burken ger lägsta möjliga materialkostnad?"

Mitt svar:
Botten är $x^{2}$ och kostnaden för det är a
Jag gissar på att man ska använda volymen på figuren för att ta reda på höjden, på följande sätt.
$x^{2} \cdot h = 900 h = \frac{900}{x^{2}}$

Nu känner jag alla sidor + botten och jag definerar dessa:
$A_{b} = x^{2} A_{s} = x \cdot \frac{900}{x^{2}} = \frac{900}{x}$ Vi har en bottenplatta och 4 st sidoplattor. Okej då ger det att kostnaden är.. Får inte riktigt till en formel för detta. Kan någon vara snäll och försöka förklara tack.

Bra början.

Botten är en kvadrat med sidan x cm. Bottenarean är alltså $x^2 cm^2$ .

Kostnaden för botten är $a \frac{k r}{c m^{2}}$ , vilket ger att den totala kostnaden för botten är $ax^2$ kr.

Sidorna består av 4 rektanglar med bredd x och höjd h. Deras totala area är alltså 4xh.

Kostnaden för sidorna är $2 a \frac{k r}{c m^{2}}$ , vilket ger att den totala kostnaden för sidorna är $2a\cdot 4xh kr=8axh$ kr.

Den totala materialkostnaden är $ax^2+8axh$ kr.

Du har redan tagit fram ett samband mellan x och h som du nu kan använda.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev :

Bra början.
Botten är en kvadrat med sidan x cm. Bottenarean är alltså $x^2 cm^2$ .
Kostnaden för botten är $a \frac{k r}{c m^{2}}$ , vilket ger att den totala kostnaden för botten är $ax^2$ kr.
Sidorna består av 4 rektanglar med bredd x och höjd h. Deras totala area är alltså 4xh.
Kostnaden för sidorna är $2 a \frac{k r}{c m^{2}}$ , vilket ger att den totala kostnaden för sidorna är $2a\cdot 4xh kr=8axh$ kr.
Den totala materialkostnaden är $ax^2+8axh$ kr.
Du har redan tagit fram ett samband mellan x och h som du nu kan använda.
Kommer du vidare då?

Tack.

Förstår inte riktigt när du förklarar. Efter att ha läst så kommer jag fram till följande.

Bottenarean är $x^2cm^2$ det finns 1 botten och 4 st sidor.
Sidan är $x(x^2-900) cm^2$ Det finns 4st sidor alltså den totala arean för sidorna är
$4(x^3-900x)$ . Nu har jag definerat totala arean i enheten kvadratcm

Nu ska vi övergå till kostnad istället. Och det skiljer sig inte så mycket från formeln för arean egentligen, man ändrar bara enhet från $cm^2$ till $kr/cm^2$ Har kanske fel angående detta eller så kan jag inte uttrycka mig tillräckligt bra men jag fortsätter.

kostnaden är $x^2/2 + 4x^3 - 3600x$ Eller något.

Skrev höjden fel... låt mig fixa det.

EDIT - Jag såg inte att du hade uppdaterat med korrekt beräkning.

Bra. Det är den kostnaden du ska minimera.

Yngve skrev :
EDIT - Jag såg inte att du hade uppdaterat med korrekt beräkning.
Bra. Det är den kostnaden du ska minimera.

Tackar.

Hej!

Materialkostnaden för en burk är $k(x)$ kronor där

$k(x) = x^2 + 2\cdot 4xh(x)$

där den kvadratiska bottenytans area är $x^2$ $cm^2$ och burkens höjd $h(x)$ bestäms av bottenytans area via sambandet $x^2h(x) = 900;$ här antar jag att materialet kostar $1$ krona per $cm^2.$

Uttryckt endast med hjälp av $x$ kan materialkostnaden skrivas

$k(x) = x^2 + \frac{7200}{x}$ där $x > 0.$

Denna funktion är deriverbar och har derivatan

$k'(x) = 2x - \frac{7200}{x^2}.$

När $0 < x < \sqrt[3]{3600}$ är derivatan negativ och när $x > \sqrt[3]{3600}$ är derivatan positiv; talet $\sqrt[3]{3600}$ är derivatans nollställe. Det betyder att materialkostnaden har ett lokalt minimum när $x = \sqrt[3]{3600} \approx 15.$

Eftersom kostnaden är strängt avtagande när $0<x<\sqrt[3]{3600}$ och strängt växande när $x>\sqrt[3]{3600}$ så har materialkostnaden ett globalt minimum när $x=\sqrt[3]{3600}.$ Notera att det frågades efter ett globalt minimum ("lägsta möjliga") och inte efter ett lokalt minimum.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Materialkostnaden för en burk är $k(x)$ kronor där
    $k(x) = x^2 + 2\cdot 4xh(x)$
där den kvadratiska bottenytans area är $x^2$ $cm^2$ och burkens höjd $h(x)$ bestäms av bottenytans area via sambandet $x^2h(x) = 900;$ här antar jag att materialet kostar $1$ krona per $cm^2.$
Uttryckt endast med hjälp av $x$ kan materialkostnaden skrivas
    $k(x) = x^2 + \frac{7200}{x}$ där $x > 0.$
Denna funktion är deriverbar och har derivatan
    $k'(x) = 2x - \frac{7200}{x^2}.$
När $0 < x < \sqrt[3]{3600}$ är derivatan negativ och när $x > \sqrt[3]{3600}$ är derivatan positiv; talet $\sqrt[3]{3600}$ är derivatans nollställe. Det betyder att materialkostnaden har ett lokalt minimum när $x = \sqrt[3]{3600} \approx 15.$
Eftersom kostnaden är strängt avtagande när $0<x<\sqrt[3]{3600}$ och strängt växande när $x>\sqrt[3]{3600}$ så har materialkostnaden ett globalt minimum när $x=\sqrt[3]{3600}.$ Notera att det frågades efter ett globalt minimum ("lägsta möjliga") och inte efter ett lokalt minimum.
Albiki

Tack, det var en fin utlösning tycker jag.

MattePapput skrev :
Albiki skrev :
Hej!
Materialkostnaden för en burk är $k(x)$ kronor där
    $k(x) = x^2 + 2\cdot 4xh(x)$
där den kvadratiska bottenytans area är $x^2$ $cm^2$ och burkens höjd $h(x)$ bestäms av bottenytans area via sambandet $x^2h(x) = 900;$ här antar jag att materialet kostar $1$ krona per $cm^2.$
Uttryckt endast med hjälp av $x$ kan materialkostnaden skrivas
    $k(x) = x^2 + \frac{7200}{x}$ där $x > 0.$
Denna funktion är deriverbar och har derivatan
    $k'(x) = 2x - \frac{7200}{x^2}.$
När $0 < x < \sqrt[3]{3600}$ är derivatan negativ och när $x > \sqrt[3]{3600}$ är derivatan positiv; talet $\sqrt[3]{3600}$ är derivatans nollställe. Det betyder att materialkostnaden har ett lokalt minimum när $x = \sqrt[3]{3600} \approx 15.$
Eftersom kostnaden är strängt avtagande när $0<x<\sqrt[3]{3600}$ och strängt växande när $x>\sqrt[3]{3600}$ så har materialkostnaden ett globalt minimum när $x=\sqrt[3]{3600}.$ Notera att det frågades efter ett globalt minimum ("lägsta möjliga") och inte efter ett lokalt minimum.
Albiki
Tack, det var en fin utlösning tycker jag.

Synonymer till ordet utlösning: orgasm, klimax, ejakulation, utlopp, utbrott.

Synonymer till ordet utlösning: orgasm, klimax, ejakulation, utlopp, utbrott.

aa jag syftar på orgasm såklart.....

Lösning* Utlösning av problemet* Whatever.

Svara

Visa senaste svar