Extremvärden

Borde inte första termen i uttrycket för x bli  –a/3  ?

Arktos skrev:

Borde inte första termen i uttrycket för x bli  –a/3  ?

Vad händer med 2an?

Hej!

Tänk att pq-formeln ser ut enligt

x = -$-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

Enligt derivatans funktion så är ditt $p = \frac{2a}{3}$.

TuananhNguyen skrev:

Hej!

Tänk att pq-formeln ser ut enligt

x = -$-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

Enligt derivatans funktion så är ditt $p = \frac{2a}{3}$.

aha nu får jag fram att a$\ne$$\pm \sqrt{3}$

när diskriminanten är olik noll. Men facit säger att $a<-\sqrt{3} och a>\sqrt{3}$

Hur kommer man fram till det?

lovisla03 skrev:

Om det ska finnas två extrempunkter måste diskriminanten vara olikt 0 vilket ger $\frac{4a^2-3}{9}\ne 0 <=>4a^2-3\ne 0 <=> a\ne \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Det där är diskriminanten för derivatan inte för funktionen.
Så nu har du kommit fram till?

joculator skrev:

lovisla03 skrev:

Om det ska finnas två extrempunkter måste diskriminanten vara olikt 0 vilket ger $\frac{4a^2-3}{9}\ne 0 <=>4a^2-3\ne 0 <=> a\ne \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Det där är diskriminanten för derivatan inte för funktionen.
Så nu har du kommit fram till?

Vet inte ...

lovisla03 skrev:

Jaha nu får jag fram att a$\ne$$\pm \sqrt{3}$

när diskriminanten är olik noll. Men facit säger att $a<-\sqrt{3} och a>\sqrt{3}$

Hur kommer man fram till det?

Vad händer om $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$?

Tag t.ex. $a=0$, finns det då två separata extrempunkter?

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

Jaha nu får jag fram att a$\ne$$\pm \sqrt{3}$

när diskriminanten är olik noll. Men facit säger att $a<-\sqrt{3} och a>\sqrt{3}$

Hur kommer man fram till det?

Vad händer om $-\sqrt{3}\leq a\leq\sqrt{3}$?

Tag t.ex. $a=0$, finns det då två separata extrempunkter?

aha då finns bara en?

lovisla03 skrev:

aha då finns bara en?

Nej en lokal extrempunkt är en punkt som är sådan att samtliga funktionsvärden i en nära omgivning till punkten antingen är högre än eller lägre än funktionsvärdet i extrempunkten.

Finns det någon sådan punkt för $f(x)=x^3+x$?

Tips: Rita grafen till $f(x)$

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

aha då finns bara en?

Nej en lokal extrempunkt är en punkt som är sådan att samtliga funktionsvärden i en nära omgivning till punkten antingen är högre än eller lägre än funktionsvärdet i extrempunkten.

Finns det någon sådan punkt för $f(x)=x^3+x$?

Tips: Rita grafen till $f(x)$

vad kommer f(x)=x^3+x från?

lovisla03 skrev:

vad kommer f(x)=x^3+x från?

Vi ville se vad som händer då $a$ t.ex. är lila med 0.

Om $a=0$ så är $f(x)=x^3+x$, eller hur?

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

vad kommer f(x)=x^3+x från?

Vi ville se vad som händer då $a$ t.ex. är lila med 0.

Om $a=0$ så är $f(x)=x^3+x$, eller hur?

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

lovisla03 skrev:

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

lovisla03 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

lovisla03 skrev:

Visa föregående citat

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Om du titta på diskriminanten (det som står under roten-ur) och undersöker för olika fall

$\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{a^2}{9}-\frac{3}{9}}$.

fall 1

• Om diskriminanten = 0 så för derivata funktionen en dubbelrot. Och dem värden på a som uppfyller detta har du redan bestämt a = $\pm \sqrt{3}$.

Fall 2

Det Yngve frågar efter är vad för värde du får hos diskriminanten när värdet på a ligger mellan intervallet$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$. Testa sätt värdet a = 0 så kommer du märka det. Vad innebär resultatet för diskriminanten<0? (Antag att vi bara arbetar med realla rötter)

Fall 3
För diskriminanten > 0 så kommer du får två olika lösningar och dessa lösningar representera dina nollställen hos $f\text{'}\left(x\right)$. Om vi vet nollställena dvs till $f\text{'}\left(x\right)$= 0, kan vi få reda om något hos funktionen f som återkopplar till fråga a) i uppgiften?

Hoppas du kommer vidare härifrån!

lovisla03 skrev:

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Nej, vid en terrasspunkt är $f'(x)=0$ och om $a=0$ så är $f(x)=x^3+x$ och $f'(x)=3x^2+1$.

Eftersom $x^2\geq0$ så är $f'(x)\geq1$ och alltså aldrig lika med 0.

Det betyder att $f(x)$ då varken har extrempunkt eller terrasspunkt.

Funktionen är istället strängt växande överallt.

Du kan läsa mer om terrasspunkter här.

När du har läst det, kan du då formulera vilka villkor som gäller för att $f(x)$ ska ha en terrasspunkt?

TuananhNguyen skrev:

lovisla03 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Om du titta på diskriminanten (det som står under roten-ur) och undersöker för olika fall

$\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{a^2}{9}-\frac{3}{9}}$.

fall 1

• Om diskriminanten = 0 så för derivata funktionen en dubbelrot. Och dem värden på a som uppfyller detta har du redan bestämt a = $\pm \sqrt{3}$.

Fall 2

Det Yngve frågar efter är vad för värde du får hos diskriminanten när värdet på a ligger mellan intervallet$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$. Testa sätt värdet a = 0 så kommer du märka det. Vad innebär resultatet för diskriminanten<0? (Antag att vi bara arbetar med realla rötter)

Fall 3
För diskriminanten > 0 så kommer du får två olika lösningar och dessa lösningar representera dina nollställen hos $f\text{'}\left(x\right)$. Om vi vet nollställena dvs till $f\text{'}\left(x\right)$= 0, kan vi få reda om något hos funktionen f som återkopplar till fråga a) i uppgiften?

Hoppas du kommer vidare härifrån!

Har jag nu visat att a större än roten ur 3 och a mindre än minus roten ur 3 ger två extrempunkter?

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Nej, vid en terrasspunkt är $f'(x)=0$ och om $a=0$ så är $f(x)=x^3+x$ och $f'(x)=3x^2+1$.

Eftersom $x^2\geq0$ så är $f'(x)\geq1$ och alltså aldrig lika med 0.

Det betyder att $f(x)$ då varken har extrempunkt eller terrasspunkt.

Funktionen är istället strängt växande överallt.

---

Du kan läsa mer om terrasspunkter här.

När du har läst det, kan du då formulera vilka villkor som gäller för att $f(x)$ ska ha en terrasspunkt?

a=$\pm \sqrt{3}$

lovisla03 skrev:

TuananhNguyen skrev:

Visa föregående citat

lovisla03 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

lovisla03 skrev:

Visa föregående citat

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Om du titta på diskriminanten (det som står under roten-ur) och undersöker för olika fall

$\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{a^2}{9}-\frac{3}{9}}$.

fall 1

• Om diskriminanten = 0 så för derivata funktionen en dubbelrot. Och dem värden på a som uppfyller detta har du redan bestämt a = $\pm \sqrt{3}$.

Fall 2

Det Yngve frågar efter är vad för värde du får hos diskriminanten när värdet på a ligger mellan intervallet$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$. Testa sätt värdet a = 0 så kommer du märka det. Vad innebär resultatet för diskriminanten<0? (Antag att vi bara arbetar med realla rötter)

Fall 3
För diskriminanten > 0 så kommer du får två olika lösningar och dessa lösningar representera dina nollställen hos $f\text{'}\left(x\right)$. Om vi vet nollställena dvs till $f\text{'}\left(x\right)$= 0, kan vi få reda om något hos funktionen f som återkopplar till fråga a) i uppgiften?

Hoppas du kommer vidare härifrån!

Har jag nu visat att a större än roten ur 3 och a mindre än minus roten ur 3 ger två extrempunkter?

Ja, precis och det går att verifiera alla tre fallen genom att exempelvis välja värden på a.

Exempelvis om du vill verifiera att diskriminanten är positiv.

$$\begin{gathered} a =\hspace{0.17em}2 som är större än \sqrt{3} \\ eller \\ a = -2 som är mindre än -\sqrt{3} \end{gathered}$$

I övrigt så är du på god väg!

TuananhNguyen skrev:

lovisla03 skrev:

Visa föregående citat

TuananhNguyen skrev:

lovisla03 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

aa men varför kollar vi just 0? fattar inte 

Du gissade att det bara finns en extrempunkt då $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Jag föreslog då att du bara som ett exempel skulle se vad som händer då $a=0$, dvs hur många extrempunkter funktionen då har.

Läs det här svaret igen.

aha den saknar extrempunkt men har en terasspunkt? Ser ut så när jag kollar på grafen

Om du titta på diskriminanten (det som står under roten-ur) och undersöker för olika fall

$\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{a^2}{9}-\frac{3}{9}}$.

fall 1

• Om diskriminanten = 0 så för derivata funktionen en dubbelrot. Och dem värden på a som uppfyller detta har du redan bestämt a = $\pm \sqrt{3}$.

Fall 2

Det Yngve frågar efter är vad för värde du får hos diskriminanten när värdet på a ligger mellan intervallet$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$. Testa sätt värdet a = 0 så kommer du märka det. Vad innebär resultatet för diskriminanten<0? (Antag att vi bara arbetar med realla rötter)

Fall 3
För diskriminanten > 0 så kommer du får två olika lösningar och dessa lösningar representera dina nollställen hos $f\text{'}\left(x\right)$. Om vi vet nollställena dvs till $f\text{'}\left(x\right)$= 0, kan vi få reda om något hos funktionen f som återkopplar till fråga a) i uppgiften?

Hoppas du kommer vidare härifrån!

Har jag nu visat att a större än roten ur 3 och a mindre än minus roten ur 3 ger två extrempunkter?

Ja, precis och det går att verifiera alla tre fallen genom att exempelvis välja värden på a.

Exempelvis om du vill verifiera att diskriminanten är positiv.

$$\begin{gathered} a =\hspace{0.17em}2 som är större än \sqrt{3} \\ eller \\ a = -2 som är mindre än -\sqrt{3} \end{gathered}$$

I övrigt så är du på god väg!

okej tack!