Extrempunkter vid vald värde på a

"Låt : $f (x) = x^{3} + a x^{2} + a$ , där a är en konstant. För vilka värden på a:

a) har f två lokala extrempunkter.

b) har en terraspunkt

Har använt substitutionsmetoden med kriterierna f´(x)= 0 & f´´(x)= 0 för b) men verkar inte vara särskilt användbart.

Visa hur du har gjort. Vad är substitutionsmetoden här?

Hur gick det med a?

Laguna skrev:
Visa hur du har gjort. Vad är substitutionsmetoden här?

Hur gick det med a?

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + x f ´ (x) = 3 x^{2} + 2 a x f ´ ´ (x) = 6 x + 2 a$

$f ´ ´ (x) = 0 6 x + 2 a = 0 2 a = - 6 x a = - 3 x$

$f ´ (x) = 0 3 x^{2} - 2 a x = 0 3 x^{2} - 2 (- 3 x) x = 0 3 x^{2} + 6 x^{2} = 0 9 x^{2} = 0$

Jag hänger med lite grann på VAD du har gjort, men inte varför. Du börjar med att derivera funktionen f(x3+ax²+a två gånger. Det verkar vettigt.

Sedan sätter du andraderivatan lika med 0. Varför?

Till sist sätter du (första)derivatan lika med 0, förmodligen för att ta fram minimi-, maximi- och eventuella terrassvärden för f(x). På tredje raden sätter du in det värde på a som ger en nollpunkt för andraderivatan. Aha! Om x = 0 så har både första- och andraderivatan värdet 0, så det är en terrasspunkt (eftersom det är en tredjegradskurva och derivatan kan ha högst två nollställen).

Smaragdalena skrev:
Jag hänger med lite grann på VAD du har gjort, men inte varför. Du börjar med att derivera funktionen f(x3+ax²+a två gånger. Det verkar vettigt.

Sedan sätter du andraderivatan lika med 0. Varför?

Till sist sätter du (första)derivatan lika med 0, förmodligen för att ta fram minimi-, maximi- och eventuella terrassvärden för f(x). På tredje raden sätter du in det värde på a som ger en nollpunkt för andraderivatan. Aha! Om x = 0 så har både första- och andraderivatan värdet 0, så det är en terrasspunkt (eftersom det är en tredjegradskurva och derivatan kan ha högst två nollställen).

Vad anser du är ett bra sätt att tackla frågan på? Svaret på frågan ger $\pm \sqrt{3}$ om jag kollade rätt i facit.

Om du motiverar varför du gör som du har gjort är det en bra metod. Jag skulle ha tagit reda på vilka värden på x som ger (första)derivatan 0 innan jag undersöker vilka av dessa värden som även har andraderivatan 0, men din metod fungerar också.

Smaragdalena skrev:
Om du motiverar varför du gör som du har gjort är det en bra metod. Jag skulle ha tagit reda på vilka värden på x som ger (första)derivatan 0 innan jag undersöker vilka av dessa värden som även har andraderivatan 0, men din metod fungerar också.

Tror jag råkat förvirra mig själv.... Gjorde precis om A uppgiften enligt följande:

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + x f (x) a \to 0 : x^{3} + a x^{2} + x = x^{3} + x x^{3} + x = 0 x (x^{2} + 1) = 0 x^{2} + 1 = 0 x^{2} = - 1 x \neq ℝ x_{1} = 0$

Svar: A) Alla värden förutom då a=0.

Kan visa det grafiskt också men kommer troligtvis inte ge full poäng.

Vad gäller B) uppgiften sitter jag i princip och stampar,

$\{\begin{cases} 3 x^{2} + 2 a x = 0 \\ 6 x + 2 a = 0 \end{cases} 6 x + 2 a = 0 6 x = - 2 a x = - \frac{2 a}{6} = - \frac{a}{3} V i l k e t g e r o m m a n s ä t t e r i n i f u n k t i o n e n : a = 0 .$

Vilket enligt facit blir fel.

Jag tycker att svaret på fråga b borde vara a =0, men du säger att detta är fel enligt facit. Vad står det i facit?

Smaragdalena skrev:
Jag tycker att svaret på fråga b borde vara a =0, men du säger att detta är fel enligt facit. Vad står det i facit?

a) "För följande värden har grafen två extrempunkter"

$a < - \sqrt{3} a > \sqrt{3}$

b) "För följande värden har grafen en terasspunkt."

$a = - \sqrt{3} a = \sqrt{3}$

Svara

Visa senaste svar