Extrempunkter , o max o minproblm (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Ställ upp ett uttryck för det vertikala avståndet.

Du har förmodligen lärt dig att använda derivata för att ta reda på minimipunkter.

Avståndet fås av $f (x) - g (x) \Leftrightarrow e^{x} - 2 x$ , det är en ny funktion. Finn det x värde som ger minsta funktionsvärde

Hej,

Tack, ska se om jag förstår hur man gör,vad ni säger.

Mvh/H

Nix, kan inte. Hur finner man det x värde som ger minsta funktionvärde?

e^x-2X?

Sorry,att jag inte har någon som helst input i denna.

Ska man derivera?

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/storsta-och-minsta-varde#!/

Henrik 2 skrev:
Nix, kan inte. Hur finner man det x värde som ger minsta funktionvärde?

e^x-2X?

Sorry,att jag inte har någon som helst input i denna.

Be inte om ursäkt när du inte gjort något fel :)

Genom att derivera kan du undersöka hur funktionsvärdet för $e^{x} - 2 x$ förändras. Med hjälp av det kan vi ofta finna största/minsta värdet på funktionen.

$y = e^{x} - 2 x y' = e^{x} - 2$

Genom att sätta y'=0 får vi ut det x värde där derivatan är 0.

Sedan kan man antingen göra en teckentabell eller bara testa några värden för att analysera om y' har någon max/minpunkt.

Säg till om du fortfarande inte förstår

Tackar, ska kika på länk och se om jag förstår din förklaring.

Mvh/H

Ok, så man sätter den till 0

Sedan så kan man använda sig av teckentabell eller andraderivatan/bis,s " för att se max,minpunkt.

Men det blir log (väl?) i denna beräkning hur ser den ut, gjorde den själv men hur ser beräkningen ut?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Ok, så man sätter den till 0

Sedan så kan man använda sig av teckentabell eller andraderivatan/bis,s " för att se max,minpunkt.

Men det blir log (väl?) i denna beräkning hur ser den ut, gjorde den själv men hur ser beräkningen ut?

Mvh/H

Titta på uttrycket $y'=e^{x}-2$ ,
om $x=ln2$ är $y'=0$
om $x<>$ är $y'<0$
om $x>ln2$ är $y'>0$ .

Detta betyder att det finns en minpunkt där $x=ln2$ , en global minimipunkt dessutom.

Hej,

Nej, hänger inte med/förstår inte alls. För att jag ska förstå måste det vara mer konkret o lätt då jag inte behärskar logaritmer än. Så y prim= e^x-2 Vad händer när man sätter y prim (0)=?

Mvh/H

Menade y prim=0

Logaritmer ser ut att höra till Matte 2, men talet e kommer här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/talet-e#!/

Henrik 2 skrev:
Hej,

Nej, hänger inte med/förstår inte alls. För att jag ska förstå måste det vara mer konkret o lätt då jag inte behärskar logaritmer än. Så y prim= e^x-2 Vad händer när man sätter y prim (0)=?

Mvh/H

Jag skulle lära mig om logaritmer från matte 2 till att börja med.

När du sätter $y'=0$ får du en ekvation $e^{x}-2=0$ . Lösningen till denna ekvation är $x=ln2$ , det betyder att där $x=ln2$ är derivatan lika med 0.

Börja med att identifiera dina kunskapsluckor från tidigare matematik och sedan fyll i dem. Det kommer bli mycket lättare att förstå då (En kunskapslucka är logaritmer som tas upp i matte 2 första gången i gymnasiematematik)

Hej,

Jo, jag har lite luckor som sagt och logaritmer har jag inte riktigt lärt mig, har dock nu kikat på video om det så ska se om jag förstår denna uppgift.

Mvh/H

Ok, förstår detta nedan efter kikat på video men hur har min,maxpunkt med avståndet d att göra?

y=ex−2xy'=ex−2Genom att sätta y'=0 får vi ut det x värde där derivatan är 0. Sedan kan man antingen göra en teckentabell eller bara testa några värden för att analysera om y' har någon max/minpunkt. Säg till om du fortfarande inte förstår

Mvh/H

Bra gjort

Avståndet mellan graferna fås av $f (x) - g (x) \Leftrightarrow e^{x} - 2 x$ , Vi kan betrakta avståndet som en funktion $a (x) = e^{x} - 2 x$

Nu vill vi finna minsta värdet på a(x), för då har vi kortaste avståndet mellan funktionerna.
Du kan finna det med hjälp av derivatan.

Nu till din fråga: Vad avståndet d har med max/min punkt att göra.
Ja, om du finner en minpunkt för grafen till funktionen a(x) betyder det att minpunkten är det minsta värdet. Det skulle hjälpa att lösa uppgiften.

Ok, låt mig se om jag hänger med något här, håller på med x antal uppgifter samtidigt..:)

Nej, förstår inte riktigt vad som ska göras.

Så avståndet e e^x-2X= a(x) Varför kallar du det a(x) e a=avståndet?

Sedan deriverar man o då blir det e^x-2 sätter till =0 o då får man x=ln2

x=ln2 o det innebär, kan man ta det på räknaren?

Mvh/H

ln2=0,6931?

Hur löser det avståndet d mellan funktionerna?

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Henrik 2 skrev:
ln2=0,6931?

kan kalla den för $bananasplitt(x) = e^{x}-2$ det spelar ingen roll. Ja jag tog a(x) för att a -> avstånd.

Japp, det betyder att då x = ln2 är lutningen lika med 0. Alltså finns här en max/min/terrasspunkt. Om det är en minpunkt, då betyder det sannolikt att i den punkt är värdet till avståndet minst

hur ska vi veta vilken?

Studera värdena till vänster och höger om punkten. T.ex, om man närmar sig x = ln2 från vänster och värdet på derivatans funktion a(x) minskar, sedan blir 0 vid ln2 och sedan ökar efter ln2. Då har vi en minpunkt och det är minsta värdet. ( lutningen derivatan förändras alltså sähär. - till 0 till + )

För att förstå vad som händer behöver man som nybörjare gräva sig in i uppgiften, repetition och mer repetition. Det låter kanske jobbigt och tråkigt för många. Men det är värt att förstå, du kommer bli glad och bli duktigare på matte.

Skrev meddelande o det försvann.

Ok, nu e jag med lite mer, man ska hitta minpUNKT i o m minsta vertikala avståndet. Men är ln2=0,69 så jag vet vilka x värden som kan väljas som e större eller mindre i en teckentabell?

Kan jag använda mig av andraderivatan lika gärna för att se minpunkt?

Så om ln2 är minpunkt är de det minsta avståndet,vertikala?

Mvh/H

minpunkt. Jag e jätteduktig..:)

Mvh/H

Ja du kan använda andraderivatan. Om andraderivatan till en funktion i en punkt är större än 0, då har du en minimipunkt.

Ta vilket värde som helst mindre än ln2. T.ex ln1, du behöver inte räkna ut vad det är utan bara om tecknet är + eller -

(Inser att jag skrev fel i ett av mina senare inlägg. Jag skrev $a (x) = e^{x} - 2$ , vilket är fel. Det ska vara $a (x) = e^{x} - 2 x$ , såklart. Där a(x) = avståndet mellan graferna.

När du tar andraderivatan får du
$a' (x) = e^{x} - 2 a'' (x) = e^{x}$

Hej,

Jo, den e positiv med en sk glad mun.

Men behöver man inte ett värde för att stoppa in i funktionen o se om den e positiv eller negativ och därefter skriva in neg eller positiv före och efter ln2=0?

Är ln2=0,69? Slog på räknaren men vet inte om jag gjorde rätt.

ln2 är alltså det minsta avståndet och således svaret?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Hej,

Jo, den e positiv med en sk glad mun.

Men behöver man inte ett värde för att stoppa in i funktionen o se om den e positiv eller negativ och därefter skriva in neg eller positiv före och efter ln2=0?

Är ln2=0,69? Slog på räknaren men vet inte om jag gjorde rätt.

ln2 är alltså det minsta avståndet och således svaret?

Mvh/H

Nej, ln2 är x:värdet där minsta avståndet förekommer. (Ja, $\ln 2 \approx 0, 69$ )
För att få fram avståndet måste du använda avståndsfunktionen $a (x) = e^{x} - 2 x$ , då $x=ln2$

Aha, jag ska sätta in det i funktionen, som man gör generellt. Ok, försöker med det o ser vad jag kommer fram till.

Ska man alltså skriva e^lⁿ²-2(ln2)

När man gör det ska man omvandla ln2= ca 0,69.....?

Mvh/H

Nej, exakta svar är bättre än ungefärliga, om de inte uttryckligen frågar efter ungefärliga, eller om du ska mata in det någonstans där bara tal fungerar.

e^ln2 kan du förenkla.

Hej,

Ok, så använder ln2 då. Men hur förenklar man det då?

Mvh/H

Kommer du ihåg hur vi fick fram x = ln2?

Jo, det gör jag nog. Efter derivering och sätta det till 0?

Ja, vad satte du till noll?

e^x-2=0?

Vad är alltså e^x?

2?

Jag e nog lite trög o trött nu men vad ska göras egentligen, förenka och sedan sätta in i funktion eller derivata för svaret?

Henrik 2 skrev:
2?

Ja, e^x = 2, och x vet du är ln2, så e^ln2 = 2.

ln(x) är helt enkelt inversen till e^x.

Förstår inte nu. Det här skrev jag i tidigare inlägg

Ska man alltså skriva e^lⁿ²-2(ln2)?

Förstår inte det det skrev Laguna., kan du försöka förenkla/konkretisera?

Mvh/H

Man flyttar över -2 till andra sidan och sedan vart tar (ln2) vägen?

Henrik 2 skrev:
Förstår inte nu. Det här skrev jag i tidigare inlägg

Ska man alltså skriva e^lⁿ²-2(ln2)?

Förstår inte det det skrev Laguna., kan du försöka förenkla/konkretisera?

Mvh/H

Vi håller på och förenklar e^ln2.

Varför vill vi det,?

Förstår att man generellt vill förenkla men förstår inte riktigt vad som görs här.

Henrik 2 skrev:
Aha, jag ska sätta in det i funktionen, som man gör generellt. Ok, försöker med det o ser vad jag kommer fram till.

Ska man alltså skriva e^lⁿ²-2(ln2)

När man gör det ska man omvandla ln2= ca 0,69.....?

Mvh/H

Ja du kan ställa upp det så avståndet $d=e^{ln2}-2ln2$ vilket är samma sak som $2-ln2$ .

Varför $e^{ln2}=2$ kommer från att förstå vad logaritmen av något innebär. Men det är bättre att börja från början med det. Kolla på logaritmer igen kanske, göra en ny tråd kanske. Kom bara ihåg att det är så i nuläget, funkar jättebra.

Hej Korra,

Tackar, så e det, ska förstår detta nu o försöka lösa uppgiften sedan för böttre förståelse kika på logaritmer. E med på , med din/era färklaring att e^ln2=2 men varför blir -2ln2=ln2?

Så avståndet,enligt ovan, blir e^ln2-2ln2. Är det uttrycket för svaret eller något ,dvs ytterligare som ska göras? Man ska inte beräkna exakt utan man skriver med ln i svaret?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:
Hej Korra,

Tackar, så e det, ska förstår detta nu o försöka lösa uppgiften sedan för böttre förståelse kika på logaritmer. E med på , med din/era färklaring att e^ln2=2 men varför blir -2ln2=ln2?

Så avståndet,enligt ovan, blir e^ln2-2ln2. Är det uttrycket för svaret eller något ,dvs ytterligare som ska göras? Man ska inte beräkna exakt utan man skriver med ln i svaret?

Mvh/H

Varsågod

-2ln2 är inte samma sak som ln2
Skrev fel, här är korrigering. Ursäkta om du blev förvirrad.
Ja, $d = e^{\ln 2} - 2 \ln 2 = 2 - 2 \ln 2$ , du kan svara sådär eller slå på räknaren

Ska förstår=ska förstå

Hej,

Tackar, kikar o ser om jag förstår.

Mvh/H

Hej, behöver du mer hjälp med denna?

Vilken/vilka delar i lösningen är det då du vill få närmare förklaring av?

Hej,

Ja, jag behöver ta den från början. Ska man alltså derivera dem båda så det blir f prim(x)=e^x och

g prim(x) = 2 ? Ska man ta dessa två minus varandra?

Mvh/H

Enligt bilden som hör till uppgiften så ser vi att det vertikala avståndet d mellan de båda graferna beror av x-koordinaten.

Eftersom grafen till y = f(x) ligger ovanför grafen till y= g(x) överallt så gäller det att f(x) > g(x) överallt.

Det ger oss att det vertikala avståndet d(x) = f(x) - g(x).

Vi söker nu efter det värde på x som ger oss det minsta avståndet mellan graferna, dvs vi vill minimera d(x).

För att göra det så deriverar vi d(x) och sätter derivatan lika med 0, dvs vi löser ekvationen d'(x) = 0.

Eftersom d(x) =f(x) - g(x) så är d'(x) = f'(x) - g'(x).

Nu behöver vi bestämma f'(x) och g'(x).

f(x) = e^X ger oss att f'(x) = e^x

g(x) = 2x ger oss att g'(x) = 2

Vi får alltså att d'(x) = e^X - 2

Ekvationen d'(x).= 0 blir då

e^X - 2 = 0

Addera 2 till båda sidor:

e^X = 2

Logaritmera bägge sidor:

ln(e^X) = ln(2)

Logaritmlag I vänsterledet:

x*ln(e) = ln(2)

Eftersom ln(e) = 1 per definition så får vi

x*1 = ln(2), dvs x = ln(2).

Vi undrar nu om detta är en minimi-, maximi- eller terrasspunkt och kontrollerar därför andraderivatans värde vid x = ln(2).

Andraderivaran d''(x) = e^x

Det ger oss att d''(ln(2)) = e^ln(2) = 2 > 0

Andraderivatan är positiv, vilket betyder att vi har en minimipunkt vid x = ln(2), dvs det kortaste vertikala avståndet fås då x = ln(2).

Detta avstånd är d(ln(2)) = e^ln(2)-2*ln(2) = 2-2*ln(2) = 2(1-ln(2)).

Puh, e med mer eller mindre tills avståndet ska beräknas

Detta avstånd är d(ln(2)) = e^ln(2)-2*ln(2) = 2-2*ln(2) = 2(1-ln(2)).

d(ln(2)) är det d(x)

vilka/vad e dessa två e^ln(2)-2*ln(2)

Henrik 2 skrev:
Puh, e med mer eller mindre tills avståndet ska beräknas

Detta avstånd är d(ln(2)) = e^ln(2)-2*ln(2) = 2-2*ln(2) = 2(1-ln(2)).

d(ln(2)) är det d(x)

vilka/vad e dessa två e^ln(2)-2*ln(2)

Ja, d(x) är avståndet vid x.

Exempel:

d(-1) är avståndet då x = -1. Eftersom d(x) = e^x-2x så är d(-1) = e^-1-2*(-1).

d(0) är avståndet då x = 0. Eftersom d(x) = e^x-2x så är d(0) = e⁰-2*0.

d(3) är avståndet då x = 3. Eftersom d(x) = e^x-2x så är d(3) = e³-2*3.

På samma sätt:

d(ln(2)) är avståndet då x = ln(2). Eftersom d(x) = e^x-2x så är d(ln(2)) = e^ln(2)-2*ln(2)

Jag byter alltså bara ut x mot ln(2) i funktionsuttrycket, precis som vanligt när vi ska beräkna ett visst funktionsvärde.

Aha, då sätter in x=ln2 i funktionerna, dvs kurvan och linjen f(x)-g(x)?

e^{ln (2)}där eliminerar e o ln varandra o 2an flyttas ned, sedan så - 2* ln(2) istället för x, yes.

Men sedan förstår jag inte 2(1-ln(2))?

Aha, då bryter ut 2 an och sätter utanför, men räcker svaret innan det, 2-2*ln(2)?

Henrik 2 skrev:
Aha, då bryter ut 2 an och sätter utanför, men räcker svaret innan det, 2-2*ln(2)?

Ja.

då= du

Oki, e med, tack för alla förklaringar som gör att jag förstår lite mer.

Och nu har jag Lärt mig, adra tråden om guldtråd, att för att få ut sidan b så byter du ut h₁mot h₂+16 h₁=h₂+16

Henrik 2 skrev:
Oki, e med, tack för alla förklaringar som gör att jag förstår lite mer.

OK vad bra.

Och nu har jag Lärt mig, adra tråden om guldtråd, att för att få ut sidan b så byter du ut h₁mot h₂+16 h₁=h₂+16

Skriv allt som rör den frågan i den tråden, det blir så rörigt annars.

Yes.