Extrempunkter, konvexitetsegenskaper och asymptoter

Ja, om du med alternativ menar delar av x-axel.

Jag har nu ritat grafen på räknaren:

Den blå kurvan är fall 1: $y=\frac{2x^2-x-1}{x+1}$.

Den gröna kurvan är fall 2: y=2x-1.

Jag har börjat på uppgiften genom att skriva så här:

Ska jag betrakta den ursprungliga funktionen som en enda kurva, trots att den uppenbarligen består av en linjär funktion och en kurva med asymptoter?

Skulle vara kul med lite feedback på det jag gjort :-)

Kanelbullen skrev:

Jag har nu ritat grafen på räknaren:

Den blå kurvan är fall 1: $y=\frac{2x^2-x-1}{x+1}$.

Den gröna kurvan är fall 2: y=2x-1.

Jag har börjat på uppgiften genom att skriva så här:

Ska jag betrakta den ursprungliga funktionen som en enda kurva, trots att den uppenbarligen består av en linjär funktion och en kurva med asymptoter?

Skulle vara kul med lite feedback på det jag gjort :-)

Det ser inte rätt ut.

Beskriv hur du kommer fram till de olika uttrycken.

Ta ett steg i taget:

• Då $x < 1$ så är $|x - 1| = ...$. Alltså är då $y = ...$
• Då $x\geq1$ så är $|x-1|= ...$. Alltså är då $y=...$.

Det är två problem med din graf.

1. Den blåa kurvan gäller endast då $x<1$, den gröna kurvan gäller endast då $x\geq1$ 
2. Ditt uttryck i fall 1 är inte helt rätt.

Grafen borde sé ut så här:

Och så här lite utzoomad:

Hej Yngve!

Är det så här du menar?

Men jag förstår ändå inte vad jag ska skriva att y = ...

Jag vill ju få ihop det till en graf som gäller i båda fallen, inte där en del gäller i fall 1 och en annan del i fall 2.

Hur ska jag tänka här?

Kanelbullen skrev:

Hej Yngve!

Är det så här du menar?

Men jag förstår ändå inte vad jag ska skriva att y = ...

Du ska i fall 1 byta ut $|x - 1|$ mot $1 - x$ i uttrycket för $y$. Det blir då $y=\frac{1-x+2x^2}{x+1}$.

Du ska i fall 2 byta ut $|x - 1|$ mot $x - 1$ i uttrycket för $y$. Det blir då $y=\frac{x-1+2x^2}{x+1}$.

Jag vill ju få ihop det till en graf som gäller i båda fallen, inte där en del gäller i fall 1 och en annan del i fall 2.

Hur ska jag tänka här?

Uttrycket för $y$ är redan givet på en form som fungerar för både fall 1 och fall 2. Det går att ange den formen i Desmos som du ser. Troligtvis går det även i din räknare.

Men om du ska räkna algebraiskt på uttrycken, hitta extrempunkter med mera, så är det enklaste att dela ut det i två delar enligt ovan.

Ja, nu förstår jag!

Det blir på samma sätt i min grafräknare :-)

När jag sätter minustecken framför absolutbeloppet för att få det positivt, när x är mindre än 1, då byter jag tecken på såväl x som 1 inom absolutbeloppklamrarna och får 1-x i stället för x-1. Eller hur?

Jag missade att byta tecken på båda termerna i mitt första försök att skriva om uttrycket i fall 1.

Jag har nu fått reda på att vi inte ska undersöka konvexitetsegenskaper i denna uppgift, utan endast extrempunkter och asymptoter.

Jag undrar varför man ska hitta globala och lokala extrempunkter?

Finns det ett intervall givet i uppgiften där man ska hitta lokala extrempunkter? Jag kan inte se det. Kan det finnas någon global maximipunkt som man inte ser i grafräknaren? Jag tänker mig att det är extrempunkter helt enkelt, som man ska finna. Jag brukar kalla dem lokala.

Jag tycker mig se 2 st extrempunkter:

En lokal min.punkt vid ungefär x=0,5 och y=0,5 och en lokal max.punkt vid ungefär x=-2,5 och y=-10,75.

Så här ser grafen för funktionen ut i appen/grafräknaren GeoGebra:

Kanelbullen skrev:

[...]

När jag sätter minustecken framför absolutbeloppet för att få det positivt, när x är mindre än 1, då byter jag tecken på såväl x som 1 inom absolutbeloppklamrarna och får 1-x i stället för x-1. Eller hur?

[...]

Jag undrar varför man ska hitta globala och lokala extrempunkter?

[...]

Ja. Detta eftersom -(x-1) = -x-(-1) = -x+1 = 1-x.

Du ska hitta alla extrempunkter samt ange om de är lokala eller globala. Detta ska du göra i hela funktionens definitionsmängd.

Orsaken till att de skriver så är antagligen att de inte vill hjälpa dig för mycket på traven genom att säga hur många extrempunkter det finns och vilken typ de är.

Ja, precis, då har jag förstått rätt vad gäller absolutbeloppet. Bra.

Vad tror ni om lokala kontra globala extrempunkter för denna funktion? Vad skulle man bäst kalla dem? För att få dem gissar jag att jag ska derivera de båda fallen var för sig och se var derivatan är noll. Stämmer det?

Jag ser att det borde finnas en asymptot vid x=-1 och nu vill jag visa det algebraiskt. Ska jag även där titta på fallen var för sig eller...? Jag vill ju se vad x går mot när funktionen går mot positiva respektive negativa oändligheten. Så jag vet vilken fråga som jag ska ställa för att få veta var asymptoten finns. Hur börjar jag?

Kanelbullen skrev:

Ja, precis, då har jag förstått rätt vad gäller absolutbeloppet. Bra.

Vad tror ni om lokala kontra globala extrempunkter för denna funktion? Vad skulle man bäst kalla dem?

Jag ser att det finns en asymptot vid x=-1 och nu vill jag visa det algebraiskt. 

Börja med att hitta alla extrempunkter.

• Vilka extrempunkter tror du att det finns om du bara tittar på grafen och funderar på vad som händer utanför området som visas?
• Hur gör du för att du hitta extrempunkterna algebraiskt?
• Vet du vad skillnaden är mellan lokal och global extrempunkt?

Yngve skrev:

Börja med att hitta alla extrempunkter.

• Vilka extrempunkter tror du att det finns om du bara tittar på grafen och funderar på vad som händer utanför området som visas?
• Hur gör du för att du hitta extrempunkterna algebraiskt?
• Vet du vad skillnaden är mellan lokal och global extrempunkt?

När jag tittar på grafen så ser jag tydligt två extrempunkter. En lokal min.punkt vid ungefär x=0,5 och y=0,5 och en lokal max.punkt vid ungefär x=-2,5 och y=-10,75. Utanför området tror jag inte att det finns några extrempunkter eftersom grafen bara "sticker iväg" mot den positiva respektive negativa oändligheten längs y-axeln.

För att hitta extrempunkter algebraiskt så brukar jag derivera och sätta derivatan till 0. Därefter kolla andraderivatan och om den är negativ så har vi en maximipunkt, är andraderivatan positiv så har vi en minimipunkt.

En lokal extrempunkt finns inom ett bestämt intervall, inom funktionens definitionsmängd. Nu kom jag på att även ändpunkterna i intervallet är lokala extrempunkter. Globala extrempunkter är alla extrempunkter som funktionen har, även dem som ligger utanför ett bestämt intervall.

Men i denna uppgift har vi väl inget intervall som utesluter något ur grafen? Och definitionsmängden... Ja, vi har ju till exempel att x inte får vara -1 eftersom då är funktionen ej definierad (nu svarade jag visst även på var asymptoten finns ;-)  ) Definitionsmängden är väl för övrigt som jag ser det alla x utom just x=-1.

Kanelbullen skrev:

När jag tittar på grafen så ser jag tydligt två extrempunkter.

Ja det gör även jag.

Kan du bestämma deras position algebraiskt?

Kan du säga om de är lokala eller globala?

Kanelbullen skrev:

När jag tittar på grafen så ser jag tydligt två extrempunkter. En lokal min.punkt vid ungefär x=0,5 och y=0,5 och en lokal max.punkt vid ungefär x=-2,5 och y=-10,75. Utanför området tror jag inte att det finns några extrempunkter eftersom grafen bara "sticker iväg" mot den positiva respektive negativa oändligheten längs y-axeln.

För att hitta extrempunkter algebraiskt så brukar jag derivera och sätta derivatan till 0. Därefter kolla andraderivatan och om den är negativ så har vi en maximipunkt, är andraderivatan positiv så har vi en minimipunkt.

En lokal extrempunkt finns inom ett bestämt intervall, inom funktionens definitionsmängd. Nu kom jag på att även ändpunkterna i intervallet är lokala extrempunkter. Globala extrempunkter är alla extrempunkter som funktionen har, även dem som ligger utanför ett bestämt intervall.

Men i denna uppgift har vi väl inget intervall som utesluter något ur grafen? Och definitionsmängden... Ja, vi har ju till exempel att x inte får vara -1 eftersom då är funktionen ej definierad (nu svarade jag visst även på var asymptoten finns ;-)  ) Definitionsmängden är väl för övrigt som jag ser det alla x utom just x=-1.

Ditt resonemang är bra.

Beräkna nu extrempunkternas positioner algebraiskt.

Hej!

Jag vet ju vilka extrempunkterna är eftersom jag kan trycka på G-solv på grafräknaren och få dem.

De ligger rätt så nära det jag gissade ovan, så det är säkert rätt.

Men hur tusan får jag till det algebraiskt?

Om jag deriverar fall 1 och fall 2 för sig tycker jag inte att det blir rätt.

Hmmm… Det är något som jag gör fel.

Kanelbullen skrev:

Hej!

Jag vet ju vilka extrempunkterna är eftersom jag kan trycka på G-solv på grafräknaren och få dem.

De ligger rätt så nära det jag gissade ovan, så det är säkert rätt.

Men hur tusan får jag till det algebraiskt?

Om jag deriverar fall 1 och fall 2 för sig tycker jag inte att det blir rätt.

Hmmm… Det är något som jag gör fel.

Du gör rätt i att derivera fall 1 och fall 2 för sig.

Visa hur du gör så hjälper vi dig att hitta felet.

Tips: Kvotregeln.

Jag har kommit fram till att extrempunkterna är lokala eftersom funktionen har både större och mindre värden än dessa extrempunkter. Grafen går ju både mot positiva och negativa oändligheten.

Nu till derivering med hjälp av kvotregeln.

Kvotregeln ger att

$f\text{'}\left(x\right) =\frac{g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)-g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)}{(h{\left(x\right))}^2}$.

Så här har jag räknat.

Fall 1:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=1-x+2x^2 \\ g\text{'}\left(x\right)=-1+4x \\ h\left(x\right)=x+1 \\ h\text{'}\left(x\right)=1 \end{gathered}$$

Sätter in detta i kvotregeln och får då

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{(-1+4x)·(x+1)-(1-x+2x^2)·\left(1\right)}{{(x+1)}^2} = \frac{-x-1+4x^2+4x-1+x-2x^2}{{(x+1)}^2}$=

$\frac{2x^2+4x-2}{{(x+1)}^2}$.

Om jag nu tar och sätter täljaren till 0, så får jag en andragradsekvation att lösa.

$$\begin{gathered} 2x^2+4x-2=0 \\ \iff x^2+2x-1=0 \end{gathered}$$

vilken ger att $x_1=-1+\sqrt{2}, x_2=-1-\sqrt{2}.$

Jag har nu fått två x-värden för extrempunkter: $x_1\approx 0,4142 och x_2\approx -2,4142.$

Dessa stämmer med grafen som jag ritat och kontrollerat i grafräknaren.

Nu återstår hur jag får fram tillhörande y-värden för punkterna samt hur jag avgör om det är max- eller minpunkter.

Jag är även lite konfunderad över att jag fick fram båda x-värdena genom att derivera funktionen för fall 1. Jag behöver väl även derivera funktionen för fall 2?

Kanelbullen skrev:

Jag har kommit fram till att extrempunkterna är lokala eftersom funktionen har både större och mindre värden än dessa extrempunkter. Grafen går ju både mot positiva och negativa oändligheten.

Nu till derivering med hjälp av kvotregeln.

Kvotregeln ger att

$f\text{'}\left(x\right) =\frac{g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)-g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)}{(h{\left(x\right))}^2}$.

Så här har jag räknat.

Fall 1:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=1-x+2x^2 \\ g\text{'}\left(x\right)=-1+4x \\ h\left(x\right)=x+1 \\ h\text{'}\left(x\right)=1 \end{gathered}$$

Sätter in detta i kvotregeln och får då

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{(-1+4x)·(x+1)-(1-x+2x^2)·\left(1\right)}{{(x+1)}^2} = \frac{-x-1+4x^2+4x-1+x-2x^2}{{(x+1)}^2}$=

$\frac{2x^2+4x-2}{{(x+1)}^2}$.

Om jag nu tar och sätter täljaren till 0, så får jag en andragradsekvation att lösa.

$$\begin{gathered} 2x^2+4x-2=0 \\ \iff x^2+2x-1=0 \end{gathered}$$

vilken ger att $x_1=-1+\sqrt{2}, x_2=-1-\sqrt{2}.$

Jag har nu fått två x-värden för extrempunkter: $x_1\approx 0,4142 och x_2\approx -2,4142.$

Dessa stämmer med grafen som jag ritat och kontrollerat i grafräknaren.

Nu återstår hur jag får fram tillhörande y-värden för punkterna samt hur jag avgör om det är max- eller minpunkter.

Jag är även lite konfunderad över att jag fick fram båda x-värdena genom att derivera funktionen för fall 1. Jag behöver väl även derivera funktionen för fall 2?

Du har rätt i att det endast finns lokala extrempunkter.

Du har även räknat rätt när du har tagit fram x-värdena för extrempunkterna. Som du ser, både i grafen och i dina beräkningar, så ligger båda extrempunkterna i detta intervall, så det är helt rätt att du hittar båda genom att derivera funktionen i detta intervall.

Ja, du bör även derivera funktionen i det andra intervallet. Borde du hitta några extrempunkter där?

Kontrollera det.

-------

Du får fram motsvarande y-värden på sedvanligt sätt, dvs sätt in x-värdena i uttrycket för y.

Jag gör teckenstudium kring derivatans nollställen för att få veta om det är max- eller min.punkt. Det är alltför besvärligt med andraderivatan ;-) Jag kan även kontrollera mot grafen som jag ritat. 

När det gäller fall 2 så finns där inga extrempunkter. Extrempunkterna ligger båda där x är mindre än 1.

Derivatan är 2 för x större än 1. Det stämmer med grafen, 10 i y-led och 5 i x-led till exempel.

Tack så mycket för all hjälp Yngve.

Jag har upptäckt att det finns ytterligare en asymptot till kurvan. 
När x går mot positiva oändligheten går funktionen (y) också mot positiva oändligheten.

När x går mot negativa oändligheten går funktionen (y) också mot negativa oändligheten.

Verkar detta som en rimlig tolkning och hur visar jag bäst detta algebraiskt?

Jag har ritat in asymptoten ungefärligt med grönt, så att man får en idé om hur jag tänker.

Sedan undrar jag också om det kan finnas ytterligare någon asymptot än de två jag hittills funnit?

Hej. Du har hittat en lodrät asymptot och något som verkar vara en sned asymptot.

Vi undersöker detta med sned asymptot.

Vi tittar då vad som händer när x går mot positiva oändligheten respektive mot negativa oändligheten.

Positiva oändligheten:

Då $x\geq 1$ gäller det att $y=\frac{1-x+2x^2}{x+1}$.

Om vi nu förkortar med $x$ så får vi att $y=\frac{\frac{1}{x}-1+2x}{1+\frac{1}{x}}$.

Om vi nu låter x gå mot positiva oändligheten så kommer alla $\frac{1}{x}$-termer att gå mot $0$ och $f(x)$ kommer då att gå mot $\frac{0-1+2x}{1+0}=2x-1$.

Den sneda asymptoten då x går mot positiva oändligheten är alltså $y=2x-1$.

Detta är då en sned asymptot.

--------

Kan du göra på ett liknande sätt då x går mot negativa oändligheten?

Yngve skrev:

Hej. Du har hittat en lodrät asymptot och något som verkar vara en sned asymptot.

Vi undersöker detta med sned asymptot.

Vi tittar då vad som händer när x går mot positiva oändligheten respektive mot negativa oändligheten.

Positiva oändligheten:

Då $x\geq 1$ gäller det att $y=\frac{1-x+2x^2}{x+1}$.

Om vi nu förkortar med $x$ så får vi att $y=\frac{\frac{1}{x}-1+2x}{1+\frac{1}{x}}$.

Om vi nu låter x gå mot positiva oändligheten så kommer alla $\frac{1}{x}$-termer att gå mot $0$ och $f(x)$ kommer då att gå mot $\frac{0-1+2x}{1+0}=2x-1$.

Den sneda asymptoten då x går mot positiva oändligheten är alltså $y=2x-1$.

Detta är då en sned asymptot.

--------

Kan du göra på ett liknande sätt då x går mot negtiva oändligheten?

Jag trodde att när $x\ge 1$ så är $y=\frac{x-1+2x^2}{x+1}$.

Men om jag använder din metod att förkorta med x så får jag $y=2x+1$ för den sneda asymptoten. Det måste vara fel om man tittar på bilden jag ritat. Den sneda asymptoten verkar i en grafräknare kunna vara $y=2x-2$, men jag kan inte räkna fram det just nu. 

Här är ett förslag på hur det kunde se ut:

Kan det finnas fler än en sned asymptot?

Kan det finnas någon horisontell asymptot?

Jag har fått ett tips att skriva om funktionen för fall 2 till ”något enkelt”. Skulle man alltså kunna ha nytta av det när man ska se vad som händer när x går mot positiva oändligheten?

Kanelbullen skrev:

Jag trodde att när $x\ge 1$ så är $y=\frac{x-1+2x^2}{x+1}$.

Men om jag använder din metod att förkorta med x så får jag $y=2x+1$ för den sneda asymptoten. Det måste vara fel om man tittar på bilden jag ritat. Den sneda asymptoten verkar i en grafräknare kunna vara $y=2x-2$, men jag kan inte räkna fram det just nu. 

Här är ett förslag på hur det kunde se ut:

Kan det finnas fler än en sned asymptot?

Kan det finnas någon horisontell asymptot?

Jag har fått ett tips att skriva om funktionen för fall 2 till ”något enkelt”. Skulle man alltså kunna ha nytta av det när man ska se vad som händer när x går mot positiva oändligheten?

Ja du har rätt, jag blandade ihop uttrycken och skrev uttrycket för $x<1$ istället.

Då $x\geq1$ så är $y=\frac{x-1+2x^2}{x+1}$

Om du faktoriserar täljaren så kan du skriva detta som $y=\frac{(x+1)(2x-1)}{x+1}=2x+1$. Detta är fall 2.

Ja det kan finnas (och finns i detta fallet) flera sneda asymptoter.

I detta fallet finns inga horisontella asymptoter.

Tack!

Men y = 2x + 1 innebär ju en kurva som skär vår ursprungliga funktion och då kan det väl inte vara en asymptot?

Kanelbullen skrev:

Tack!

Men y = 2x + 1 innebär ju en kurva som skär vår ursprungliga funktion och då kan det väl inte vara en asymptot?

Asymptoten sammanfaller med kurvan. Det är OK.

Om $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x)-(kx+m\left)\right)=0$ så är den räta linjen $y=kx+m$ en asymptot till funktionen $y=f(x)$ då $x\to +\infty$ 

I detta fallet gäller att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x)-(kx+m\left)\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(2x+1-(2x+1\left)\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(0\right)=0$

Tack så mycket Yngve. Jag har läst om gränsvärden och asymptoter i läroboken också nu och förstår det du skriver bättre.

Jag har även en fråga om den lodräta asymptoten, som jag skulle vilja definiera algebraiskt, inte bara genom analys av kurvan och genom det jag ser med blotta ögat i grafen.

Min fråga finns med i skärmklippet nedan. Hur kan jag skriva om uttrycket...? (så att jag inte får noll i nämnaren och kan visa att y-värdet går mot oändligheten när x=-1)

Anledningen till att y-värdet går mot oändligheten är just att man dividerar emed ett tal som närmar sig 0.

Det finns 2 sneda asymptoter:

$y= 2x+1$ och $y=2x-1$.

Dessa gäller när x går mot oändligheten.

Man kan behöva zooma ut för att det ska bli tydligare, så som jag gjort i bilden ovan.

Det spelar ingen roll att asymptotens kurva korsar vår ursprungliga kurva, det viktiga är hur det ser ut där x går mot positiva och negativa oändligheten. 

Tack alla för hjälpen med denna uppgift!

En av mina sneda asymptoter har visat sig vara fel.

Min skiss där kurvan 2x-3 är inritad lite slarvigt med grönt har visat sig ligga nära sanningen. Jag skriver detta för att inte vilseleda någon genom mitt påstående ovan att jag hittat de två rätta. Bara en av dem stämmer.

Kanelbullen skrev:

En av mina sneda asymptoter har visat sig vara fel.

Min skiss där kurvan 2x-3 är inritad lite slarvigt med grönt har visat sig ligga nära sanningen. Jag skriver detta för att inte vilseleda någon genom mitt påstående ovan att jag hittat de två rätta. Bara en av dem stämmer.

Nej de var korrekta.

Vilken av dem anser du var fel och varför?

Hej Yngve och alla andra som följer detta problem!

Jag tar gärna emot massor av respons på detta, då det har varit en riktig långkörare för mig. Jobbigt att inte komma fram till rätt svar, trots att man är så nära. Att lutningen på de sneda asymptoterna är 2x har ju stått klart från första stund i alla fall. Sedan, var de skär y-axeln är en annan fråga...

Vi utgår från funktionen $y=\frac{\left|x-1\right|+2x^2}{x+1}$ och försöker nu att ta reda på de rätta sneda asymptoterna.

Ursäkta att jag inte har skrivit på några dagar. Det är så att jag fått veta från mycket säker källa, nämligen från examinatorn på uppgiften (!), att asymptoten $y=2x-1$ är rätt och att y = 2x+1 är fel.

De rätta sneda asymptoterna ska vara $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }$och $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{.}$ Så mycket har jag fått hjälp med. Även att:

För fall 1, när $\mathit{x}\mathbf{<}\mathbf{1}\mathbf{,}$ gäller att det finns en sned asymptot $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}$.

För fall 2, när $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{1}\mathbf{,}$ gäller att det finns en sned asymptot $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{.}$

När det gäller fall 1 tänkte jag försöka att använda mig av denna sida https://mathleaks.se/utbildning/sneda_asymptoter 

När det gäller fall 2 så har vi redan räknat ut den och det går även att få fram denna asymptot genom att göra så här (även detta enligt examinatorn):

Ja, det stämmer. Jag tänkte fel.

Hej! Jag har en liknande uppgift. Hur skrev du ett teckenschema m.h.a. dina uträkningar? Jag har också två fall att lösa eftersom jag har med absolutbelopp i nämnaren att göra.

Helo skrev:

Hej! Jag har en liknande uppgift. Hur skrev du ett teckenschema m.h.a. dina uträkningar? Jag har också två fall att lösa eftersom jag har med absolutbelopp i nämnaren att göra.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Skapa en egen tråd med din uppgift och visa hur långt du kommer så får du både snabbare och bättre hjälp.