Extrempunkter ? (Matematik/Matte 3/Derivata)

Har du gjort något?

Du har själv lagt den under derivata. Så första steget är såklart att bestämma derivatan. Lokala max- och minpunkter finns där derivatan är noll, de utgör extrempunkter och hjälper dig att skissa grafen.

Andra saker som kan behövas för att skissa grafen är att undersöka andraderivatan för de extrempunkter du får fram eller att göra en teckenstudie.

Du får be om vidare hjälp och förtydliga om det är något enskilt av dessa moment där du kör fast.

Jag har gjort så här f(x)=x^4/4-x^2-1= f'(x)=4x^3/4-2x= x^3-2x

f'(x)=0 ger x^3-2x=0 ger x(^2-2)=0.

x=0, x=2 och x= -2.

Sen vet jag inte mer?

Det ser inte helt korrekt ut. x=0 är korrekt men de andra två nollställena stämmer ej.

När du hittat rätt nollställen så bör du antingen ta fram andra derivatan genom att derivera funktionen en gång till och testa dessa punkter i andra derivatan, eller så undersöker du lutningen i punkter som ligger emellan derivatans nollställen, så du kan få reda på om dina punkter är maxpunkter eller minpunkter eller varken eller.

För att skissa grafen behöver du veta under vilka intervall som grafen lutar uppåt(ökar) och var den lutar nedåt (minskar) . Detta är hur derivatan förändras, alltså om den är positiv eller negativ. Derivatan kommer byta tecken vid max- och minpunkterna(där den är 0) så det är intressant att undersöka hur den ser ut före och efter dessa punkter. Andraderivatan kan också hjälpa till med detta, om den metoden är bekant.

My bad det ska vara x(x^2-2)=0 ger mig x=0,x=-2 och x=2

f"(x) = 3x-2 för x^3-2x.

Har du kontrollerat om dina nollställen stämmer, dvs har du kollat att både $x=0$ , $x=-2$ och $x=2$ löser ekvationen $x(x^2-2)=0$ ?

Om inte, gör det.

Jag har testat 0(0^2-2)=0 och är sant men för x=2 och x=-2 får jag falska rötter.

Det betyder att jag ska derivera funktionen en gång till och får f"(x) =3x^2-2.

Men jag vet inte vad ska jag göra sen.

De är inga falska rötter. De är inte nollställen till derivatan överhuvudtaget.

Hur får du (2^2)- 2 att bli 0 ?

Det finns två nollställen till för derivatan om du löser x^3-2x=0 korrekt. De måste du hitta innan du kan göra något annat.

Du kan bryta ut x: x(x^2-2). Vilka lösningar har

x^2-2=0

Och nej x=2 är ingen lösning. Lös den noga.

Kanske du menar $x^{2} - 2 = 0 + 2 g e r m i g x^{2} = 2 o c h x b l i r d e t \pm \sqrt{2}$ .

Är det här svaret?

Sen tar jag och använder andra derivatan.

3x^2-2

Ja nu har du rätt nollställen för derivatan och har hittat extrempunkterna.

$x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{2}, x_{3} = - \sqrt{2}$

Frågan är vad det är för slags extrempunkter vilket också behövs vetas för att skissa grafen

Undersök andraderivatan för dessa punkter.

Positiv andraderivata ger minimipunkt

Negativ andraderivata ger maximipunkt

Andra derivatan ger mig x^3-2x = 3x^2-2

f"(0)=3*0^2-2 =-2 maximipunkt

f"( $\sqrt{2}$ )= $3 {(\sqrt{2})}^{2} - 2$ = 4 minipunkt

f"( $- \sqrt{2}$ )= $3 {(\sqrt{- 2})}^{2} - 2$ =-8

maximipunkt

Är det här ska man beräkna så.

Det är rätt metod ja.

Den sista är dock ej korrekt beräknad. $d e t s k a v a r a 3 {\cdot^{(- \sqrt{2)}}}^{2} - 2$

Ok. Den sista ska vara -12.

$3 (- {\sqrt{(2)}}^{2} - 2) = - 12$

Sen jag ska bestämma karaktären av extrempunkter och skissa grafen.

Nej sakta i backarna. Nu blev det galet igen.

$3 \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} - 2 = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Du måste hålla koll på tecken och parenteser. Nu hamnar vi i en annan slutsats.

Bestämmma karaktär av extrempunkterna är att bestämma om det är maximi eller minimi. Det har du gjort korrekt på alla utom den jag rättade här nu.

Sen ska du skissa graf ja.

Om det är korrekt så har jag två minimipunkter. Det betyder att grafen kommer att se ut som en glad. Om jag har det rätt. Jag matade i graf miniräknare, de koordinaterna och fick det att se ut som en glad mun och det är minimipunkt.

Nja, du har ju

minimi, maximi, minimi

så ska man vara noga så är det ju först en glad mun, sen en ledsen mun emellan och sen en glad mun igen (för att använda din egen terminologi)

För att skissa korrekt kan det även vara bra att ta reda på y-kordinaten för punkterna.

$x = 0 \Rightarrow y = - 2 x = \sqrt{2} \Rightarrow y = - 2 x = - \sqrt{2} \Rightarrow y = - 2 g e n o m i n s ä t t n i n g i f u n k t i o n M i n i m i i (- \sqrt{2}, - 2) M a x i m i i (0, - 2) M i n i m i i (\sqrt{2}, - 2)$

Så här brukar jag göra när jag skissar.

1. Jag markerar ut mina extrempunkter och målar ut "munnarna" som jag vet utifrån om det är max- eller minpunkter.

2. Jag fyller i tomhålen i grafen före, efter och mellan punkterna, eftersom jag ser hur den ska gå utifrån "munnarna"

(Kunde såklart blivit snyggare men det var väl en helt okej snabb skiss) ;)

Ok. Nu vet jag tack om att skissa grafer . Men det här vet jag inte om y värde. Ska det inte vara -2 om x är noll.

Oj , ja en miss i min graf, sorry. Jag ska fixa om. Den ska inte gå genom origo, utan genom (0,-2)

Så här ska den se ut såklart. Tack för att du uppmärksammade mig.

Och för de andra y värde som är -3. Hur fick du att det ska bli y = -3. Ska det inte vara 4.

Nej. Hur får du fram det till 4? Visa gärna.Jag tror du är osäker på hur du sätter in $x = \sqrt{2}$ i en funktion

Förresten: Du lurade mig också innan. För x=0 så blir det ju såklart y=-1. Den går genom punkten (0,-1)

$\frac{{(\sqrt{2})}^{4}}{4} - {(\sqrt{2})}^{2} - 1 = \frac{4}{4} - 2 - 1 = 1 - 2 - 1 = - 2$

Minimipunkterna ligger i $(\sqrt{2}, - 2) o c h (- \sqrt{2}, - 2)$

Nu borde det vara rätt

Obs My bad. Jag trodde att man ska sätta i andra derivatan för att få y värde. Men det ska sättas i originala funktionen f(x)= x^4/4-x^2-1. Sorry. Jag hade tänkte lite fel.

Du hade rätt med grafen som du visade mig. Och jag hade fel.

Ja precis sätt in i originalfunktion för att få punkterna på grafen. Du kan skriva in den i en grafräknare eller grafskissare för att se allt korrekt

Här har vi den. Vi slarvade båda lite längs med vägen.

Utseendet på grafen har varit rätt hela tiden men punkterna hamnade lite fel för mig till en början för att jag skrev av din originalfunktion lite fel till en början.

Ok. Behöver jag tänka mer. Så kan jag tacka dig och sätter den på att jag har markerat som löst.

Det är ju du som avgör. Om du känner dig klar och nöjd med hjälpen på denna fråga, så markerar du rutan. Känner du att du behöver fler förklaringar från mig eller någon annan om denna uppgift, får du gärna ställa fler frågor och inte kryssa i rutan.

Ok. Jag är nöjden med hjälpen jag har en fråga. Vad behöver jag tänka om det kommer sånna fråga på ett prov eller nationella prov i matte 3c. Ska jag behöva tänka på steget för att lösa frågan?

Checklista

1) Bestäm derivatan

2) Sätt f´(x)=0. Hitta alla derivatans nollställen

3) Bestäm andraderivatan

4) Sätt in x-värdena för derivatans nollställen i andraderivatan och beräkna

positiv andraderivata= minimipunkt i den punkten

negativ andraderivata= maximipunkt i den punkten.

om andraderivatan blir 0 så kan det finnas en terasspunkt

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/andraderivatan

5) Bestäm y-koordinaterna för extrempunkterna

6) Rita in extrempunkterna i ett koordinatsystem och markera "munnana" och fyll sedan i resten av grafen

Ok tack.

Ingen orsak