Extrem och terrasspunkter

Uppgiften lyder: "Låt f(x) = x^3 + ax^2 + x, där a är en konstant. För vilka värden på a
a) har f(x) två lokala extrempunkter
b) har f(x) en terrasspunkt"

Hej jag har nästan löst uppgiften, och det var en lång beräkning så därför kommer inte skriva ner den men jag fick genom f'(x)= 0 => x= $- \frac{a}{3} \pm \frac{\sqrt{a ² - 3}}{3}$

facit säger att: För $a < - \sqrt{3} o c h a > \sqrt{3}$ har grafen två extrempunkter

För $a = - \sqrt{3} o c h a = \sqrt{3} h a r g r a f e n t e r r a s s p u n k t$

Vad jag tror de menar med det är att om diskriminanten antingen är negativ eller positiv så får funktionen extrempunkter. Men om diskriminanten blir 0, och x bara har en lösning så får funktionen terrasspunkt .

Har jag rätt, om ja men varför leder dubbelrot till terrasspunkt resp. extrempunkter.

Kan inte en funktion med x=2 som dubbel rot ha sina lokala extrempunkter vid denna punkt?

Nja, om diskriminanten (alltså $a^2-3$ som står under rottecknet) är negativ så tar vi roten ur något negativt. Då blir derivatans nollställen icke-reella, vilket innebär att f(x) inte får några extrempunkter alls. Så det är inte vad de menar. Om diskriminanten däremot är positiv, då blir rotuttrycket något nollskilt tal. Då existerar båda nollställen, och de kommer inte vara samma. Då får f(x) två extrempunkter. Och olikheten $a^2-3>0$ uppfylls om a är antingen större än $\sqrt{3}$ , eller mindre än $-\sqrt{3}$ .

Vad gäller terasspunkten, tänk grafiskt hur en andragradskurva (din derivata är ju en sådan) som bara har ett nollställe ser ut:

Det viktiga i sammanhanget är att kurvan aldrig når till andra sidan x-axeln, utan alla y-värden är på ena sidan om den. Och eftersom detta är en derivata, så är varje y-värde en lutning på kurvan f(x). Att alla y-värden är ovanför x-axeln (utom i punkten som är precis på) betyder alltså att lutningen på f(x) är alltid positiv, utom i punkten där lutningen är noll. Detta blir då en terasspunkt.

Kan inte en funktion med x=2 som dubbel rot ha sina lokala extrempunkter vid denna punkt?

Två extrempunkter i samma x-värde? Då måste du klämma in mer än ett y-värde på samma x-värde, och då slutar det vara en funktion. Åtminstone på gymnasiet får man aldrig ut mer än ett y för varje x.

Svara