Extenta fråga 2:

Hej!

Om matrisens nollrum innehåller fler vektorer än nollvektorn -- nollrummet innehåller alltid nollvektorn -- så är finns det icke-triviala egenvektorer som hör till egenvärdet noll; nollvektorn är alltid en egenvektor som hör till egenvärdet noll (det är en trivial egenvektor).

Albiki

Hej!

Om nollrummets dimension är ett positivt tal så innehåller nollrummet fler element än bara nollvektorn.

Albiki

Hej!

Determinanten för en kvadratisk matris är lika med produkten av matrisens egenvärden. Om ett av egenvärdena är lika med noll så är följaktligen determinanten lika med noll (och matrisen saknar invers).

Albiki

Hej!

Varför är determinanten lika med produkten av egenvärdena? Det följer av Spektralsatsen!

    $A = PDP^{t}\ ,$

där $P$ är en ortogonal matris (vars kolonner är linjärt oberoende egenvektorer) och $D$ är en diagonalmatris (vars diagonalelement är egenvärden).

Determinanten blir

    $\det(A) = \det(P)\det(D)\det(P^{t})\ .$

Eftersom $P$ är ortogonal så är $\det(P) = \pm 1$ och $\det(P^{t}) = \det(P)$ vilket ger

    $\det(A) = (\det(P))^{2}\cdot \det(D) = \det(D)\ .$

Sedan är $\det(D)$ samma sak som produkten av diagonalelementen (som ju är egenvärden).

Albiki