exponentiellt minskning med tiden? (Matematik/Matte 2/Algebra)

Hur har du försökt själv? Kan du skriva informationen du fått matematiskt med hjälp av formeln för exponentialekvationer, $y = C \cdot a^{x}$ ?

Hej

Hur tänker du själv?

Den minskar exponentiellt med tiden som kan skrivas på formen $y = C \cdot a^{x}$ där $x$ är tiden i timmar. Du vet att

$y (0) = 4$
$y (12) = 2$

Där du vill lösa ekvationen $y = 0, 1$

Kommer du vidare?

tack för respons

kan du förklara hur jag ska svara vidare ?

mvh

Om du börjar med att ta fram funktionen hur gör du då?

tänker på halveringstid ..

y = 4 . 0,5^(0,1/2) = 3,863....

alltså efter 3,9 timmar ?

Lele skrev:
tänker på halveringstid ..

y = 4 . 0,5^(0,1/2) = 3,863....
Alltså efter 3,9 timmar ?

Tanken på halveringstid är vettig, men är det rimligt att det återstår 1/40 av substansen efter knappt 4 timmar, om hälften har tagits upp efter 12 timmar?

Vad är det för halveringstids-formel du försöker använda?

hade använt fel halveringstids-formel..

men nu ska jag använda den här formeln:

N= N0 *at^2

N0 = 4

a = förändringfaktorn ( vet ej hur mycket)

t = 12

Nej, du skall ha t som exponent, inte som bas.

Du vet redan hur mycket av substansen det finns från början, och du vet halveringstiden. Antingen kan du använda en formel där man sätter in halveringstiden, eller så kan du räkna ut vilket värde du skall ha på basen a för att det skall stämma. Vilken av dessa metoder väljer du? Det går att lösa på båda sätten (och flera andra metoder också).

ok

va blir förädringsfakorn ?

Det är inte meningen att vi ska lösa ut den åt dig endast ge hjälp på vägen!

Jag fortsätter på det jag skrev tidigare vi vet att:

$y (0) = 4$
$y (12) = 2$

$y (0) = 4 \Leftrightarrow 4 = C \cdot a^{0} = \Leftrightarrow C = 4 \Rightarrow y = 4 \cdot a^{x} y (12) = 2 \Leftrightarrow 2 = 4 \cdot a^{12} = . . .$

Vet du hur man löser ut $a$ härifrån?

Har jag tänkt rätt så här?

I stort sett har du tänkt rätt, men det är bättre att använda exkta värden i stället för att avrunda.

$a = \sqrt[12]{0, 5} \approx 0, 94387431268169349664191315666753$

Om du tar ditt värde på a och upphöjer det till 12, blir det inte riktigt 1/2 utan 0,475920314814253376475136.

Vet du hur du skall fortsätta för att lösa uppgiften?

Så får jag skriva som jag skrev och vid svaret skriva :

ca 0,9438... eller ca 0,94

eller ska jag skriva som du skrev?

Både blir samma svar

Hur ska jag fortsätta för att lösa uppgifter, eftersom de frågar efter hur lång tid efter att personen tagit läkemedlet återstår 0,1mg?

Lös ekvationen: $0.1 = C * a^{x}$ för x med dina uträknade konstanter C och a.

😭är osäker

Lele skrev:
En person får 4,0 mg av ett läkemedel som tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår 0,1 mg ?

Hej!

Vid tidpunkten $t$ timmar finns det $y(t)$ milligram av läkemedlet i personens kropp. Du får veta detta av uppgiftstexten:

$y(0) = 4,0.$
$y(t) = y(0)\cdot e^{-a\cdot t}.$
$y(12) = 0,5 \cdot y(0).$

Du ska bestämma tidpunkten $T$ när $y(T) = 0,1.$

För att kunna bestämma denna tidpunkt måste du bestämma nedbrytningskonstanten $a$ . Denna positiva konstant bestäms av informationen i punkt 3 ovan.

så nu kan jag räkna så här för att få veta konstanten a:

y(12) = 0,5.12 = 6 ?

Lele skrev:
så nu kan jag räkna så här för att få veta konstanten a:
y(12) = 0,5.12 = 6 ?

Hur då? Vad menar du att a är lika med? Skall punkten efter 0,5 betyda upphöjt till? I så fall borde du ha skrivit 0,5^12 (det är ingen bra idé att hitta på alldeles egna beteckningar) eller ännu hellre använda formelskrivaren för att skriva läsliga formler - du hittar den genom att klicka på rotenurtecknet längst upp till höger i inskrivningsrutan.

Nej. $y(12)=2,0 \ mg=4,0 \ mg \cdot a^{12}$ . Förenklar du detta lite får du $0,5=a^{12}$ . Du löser denna ekvation genom att upphöja båda sidor till $\frac{1}{12}$ .

Smaragdalena skrev:
Lele skrev:
så nu kan jag räkna så här för att få veta konstanten a:
y(12) = 0,5.12 = 6 ?
Hur då? Vad menar du att a är lika med? Skall punkten efter 0,5 betyda upphöjt till? I så fall borde du ha skrivit 0,5^12 (det är ingen bra idé att hitta på alldeles egna beteckningar) eller ännu hellre använda formelskrivaren för att skriva läsliga formler - du hittar den genom att klicka på rotenurtecknet längst upp till höger i inskrivningsrutan.
Nej. $y(12)=2,0 \ mg=4,0 \ mg \cdot a^{12}$ . Förenklar du detta lite får du $0,5=a^{12}$ . Du löser denna ekvation genom att upphöja båda sidor till $\frac{1}{12}$ .

Har inte jag gjort det ovan?

Inte i den rutan jag har citerat, i alla fall inte på ett sätt som jag kan begripa. Det står inte "a = " någonstans, så vitt jag kan se. Det borde ha stått " $a = \sqrt[12]{0, 5} \approx 0,94387$ " eller något likvärdigt.

Smaragdalena skrev:
Inte i den rutan jag har citerat, i alla fall inte på ett sätt som jag kan begripa. Det står inte "a = " någonstans, så vitt jag kan se. Det borde ha stått " $a = \sqrt[12]{0, 5} \approx 0,94387$ " eller något likvärdigt.

Jag har faktist fått samma värde när jag gjorde (0,5)^1/12

vad ska jag tänka på nu för att komma fram till svaret? (Känns som att det är svåraste uppgiften i matte som jag sett)

Du vill du beräkna $y = 0, 1 \Leftrightarrow 0, 1 = C \cdot a^{x} \Leftrightarrow \ln (\frac{0, 1}{C}) = x \ln (a) \Leftrightarrow x = \frac{\ln (\frac{0, 1}{C})}{\ln (a)}$

Kommer du vidare nu?

jonis10 skrev:
Du vill du beräkna $y = 0, 1 \Leftrightarrow 0, 1 = C \cdot a^{x} \Leftrightarrow \ln (\frac{0, 1}{C}) = x \ln (a) \Leftrightarrow x = \frac{\ln (\frac{0, 1}{C})}{\ln (a)}$
Kommer du vidare nu?

Faktist inte.. förstår inte

Då behöver du träna på logaritmer.

Smaragdalena skrev:
Då behöver du träna på logaritmer.

Stoppa in ditt x-värdei ursprungsekvationen och kolla om det stämmer.

Smaragdalena skrev:
Stoppa in ditt x-värdei ursprungsekvationen och kolla om det stämmer.

nej det stämmer ej

jonis10 skrev:
Du vill du beräkna $y = 0, 1 \Leftrightarrow 0, 1 = C \cdot a^{x} \Leftrightarrow \ln (\frac{0, 1}{C}) = x \ln (a) \Leftrightarrow x = \frac{\ln (\frac{0, 1}{C})}{\ln (a)}$
Kommer du vidare nu?

tack för respons
är C här 4
och vad är a?

Ja, C är 4,0 mg. Du har ju räknat ut vad a är - tolfte-roten-ur-en-halv, eller ungefär 0,94387.

Smaragdalena skrev:
Ja, C är 4,0 mg. Du har ju räknat ut vad a är - tolfte-roten-ur-en-halv, eller ungefär 0,94387.

Jag har räknat ut det och jag fick

För att kontrollera att det stämmer så har jag även stoppat in värden som jag fick fram i minräknaren:

Så efter ca 63,8580 h återstår 0,1 mg ?

Ja, men eftersom man bara har fått två värdesiffror bör man svara 64 timmar.

Smaragdalena skrev:
Ja, men eftersom man bara har fått två värdesiffror bör man svara 64 timmar.

Ok jag ska svara efter 64 h återstår 0,1mg

tack för hjälpen