Exponentiella funktioner

Hej!

Jag har postat för länge sedan en fråga om en funktion i matteboken 3, om spanska sjukan (eller spanska pesten?). Funktionen såg ut som:

$y = \frac{94 000}{n å g o t n å g o t}$ . Ni forklarade att det var totalt 94000 personer som hade dött totalt, så det var därför att det såg ut så.

Imorse fick jag 2 övningar, nämligen influensaepidemi funktion i en samhälle med 2000 invånare som såg ut som:

$f_{i n f l u e n s a =} \frac{2000}{1 + 1999 * e^{- 0.5 t}}$

... samt en mässlingepidemi i en skola som såg ut som:

$f_{m ä s s l i n g =} \frac{250}{1 + 249 * e^{- t}}$

I båda fall är t i dygn.

Så i båda fall funktionen ser ut som: $\frac{n (t o t a l s t a c k a r e)}{1 + (n - 1) * e^{- k t}}$

Frågor är, uppenbarligen är n den antal som samhälle eller skolan utbuder till skjukdomen, men varför är det 1 +(n-1) i nämnare? Är det för att en person åt gången drabbas? Varför k exponenten är negativt? Jag skulle gärna vilja förstå varför funktionen skrivas under den här formen, tyckte att det var coolt med forklaringen om spanska sjukan!

Hej!

Notera att det finns ingen tidpunkt (som du kan läsa av från en vanlig klocka) där funktionsvärdena är heltal. Det betyder att funktionerna du angett är olämpliga som modeller för antal sjuka personer. Istället för antal personer skulle funktionerna (med andra konstanter) kunna beskriva den sammanlagda kroppsvikten hos de sjuka personerna (eller någon annan kontinuerlig egenskap hos personerna).

Det finns de som hävdar att funktionerna beskriver det genomsnittliga antalet personer, men hur ska man tolka påståendet att det vid en tidpunkt finns i genomsnitt 1223 (komma) 356 stycken sjuka personer?

Albiki

Hej!

Om du deriverar funktionen

Error converting from LaTeX to MathML

så ser du att följande samband råder mellan derivatan $f'(t)$ och funktionsvärdet $f(t).$

$\displaystyle f'(t) = nk\frac{f(t)}{n}(1-\frac{f(t)}{n}).$

Du ser att derivatan är nära noll då $f(t)$ är nära noll eller då $f(t)$ är nära $n.$ Vad säger det om funktionen $f(t)$ ?

Eftersom andragradspolynomet $p(x) = nkx(1-x)$ har sitt största värde $(nk/4)$ då $x=0.5$ så förändras funktionen som mest vid tidpunkter $t$ som är sådana att $f(t) \approx n/2.$ Vad säger detta om smittspridningen?

Albiki

Din första rad gick inte att affischera :(

Jag antar att det betyder att sjukdomar är slöa att sprida sig i början och slutet, och sprider sig snabbast när halften är kontaminerade?

Svara

Visa senaste svar