Exponentiell modell
Om någon av er har tid att visa hur ni löser denna uppgift skulle det uppskattas jättemycket! :)
En exponentiell modell kan beskrivas med g(x) = C•ax, där C och a är konstanter och x är antalet år efter årsskiftet 2011/2012.
Det betyder att
- folkmängdens storlek vid årsskiftet 2011/2012 beskrivs av f(0) och g(0).
- folkmängdens förändring vid årsskiftet 2011/2012 beskrivs av f'(0) och g'(0).
Du vill nu se om det går att hitta värden på C och a sådana att g(0) = f(0) och att g'(0) = f'(0).
Kan du fortsätta den tankegången själv?
Nja inte riktigt, förstår att jag ska använda mig av exponentialfunktioner men vet inte hur jag ska applicera det du skrev tyvärr.
Förlåt, jag skrev x istället för t i mitt första svar.
Vi börjar om.
Elin säger att det går att ta fram en exponentialfunktion g(t) = C•at för folkmängden som är sådan att den ger samma värde som den givna f(t), både avseende folkmängdens storlek och dess förändring vid årsskiftet 2011/2012.
Enligt den kvadratiska modellen så är storleken vid denna tidpunkt f(0) och förändringen f'(0).
Vi vill alltså hitta värden på C och a så att g(0) = f(0) och f'(0) = g'(0).
Förstår du att det är så?
Okej hänger med på teorin men kommer inte på hur jag kan börja ställa upp det.
Börja med att derivera f(t) och g(t).
Sedan kan du ställa upp två ekvationer:
f(0) = g(0) och f'(0) = g'(0).
I dessa två ekvationer har du endast C och a som obekanta storheter.
Visa dina försök.
f’(t)= 10t-690 —> f’(0)= -690
g’(t) = ca^t•ln(a) —> g’(0) = C • ln a
f(0) = 45800
g(0) = ln a
Ställer f(0)=g(0)
45800 = ln a
e^45800 = a
Sätter f’(0) = g’(0)
-690 = C • ln a
-690 = C • 45800
C = -690/45800
kaffedrickaren skrev:f’(t)= 10t-690 —> f’(0)= -690
Det stämmer
g’(t) = ca^t•ln(a) —> g’(0) = C • ln a
Det stämmer
f(0) = 45800
Det stämmer
g(0) = ln a
Det stämmer inte.
Eftersom g(t) = C•at så blr g(0) = C•a0 = C•1 = C
Yngve skrev:kaffedrickaren skrev:f’(t)= 10t-690 —> f’(0)= -690
Det stämmer
g’(t) = ca^t•ln(a) —> g’(0) = C • ln a
Det stämmer
f(0) = 45800
Det stämmer
g(0) = ln a
Det stämmer inte.
Eftersom g(t) = C•at så blr g(0) = C•a0 = C•1 = C
Oj satte in 0 i fel formel, men då får jag att C = 45800
f’(0) = g’(0)
-690 = 45800• ln a
-690/45800 = ln a
e^(-690/45800) = a
a = 0,985
stämmer då svaret g(t) = 45800•0,958^t ??
kaffedrickaren skrev:stämmer då svaret g(t) = 45800•0,958^t ??
Ja, fast nu skrev du 0,958 istället för 0,985.
Kontrollera gärna för säkerhets skull med något grafritande verktyg genom att rita f(t) och g(t) i samma koordinatsystem.
Har graferna en gemensam punkt och samma lutning vid t = 0?
Yngve skrev:kaffedrickaren skrev:stämmer då svaret g(t) = 45800•0,958^t ??
Ja, fast nu skrev du 0,958 istället för 0,985.
Kontrollera gärna för säkerhets skull med något grafritande verktyg genom att rita f(t) och g(t) i samma koordinatsystem.
Har graferna en gemensam punkt och samma lutning vid t = 0?
skriver in detta på desmos och då jag sätter t=0 står det att t redan är definierat.
Skriv istället in y = 5x22-690x+45800 och y = 45800*0,985x.
Du behöver inte sätta in x = 0 någonstans, titta istället bara på graferna (zooma in) vid x = 0.
Skär de varandra och har de samma lutning vid x = 0?
Dem båda graferna möts och stiger likadant vid x=0 men det är inte lätt att se :)
Du kan zooma in på det område du vill genom att klicka på skiftnyckeln och sedan ställa in det x- och y-intervall du vill se i dialogen:
Ställ in önskade intervall:
