Exponentialfunktioner och logaritmer

Har gjort exakt samma uppgift!

Du har gjort rätt med att logaritmera båda leden. 

Det här med att lösa ut lgx^lgx kan låta jobbigt & farligt, men det är det inte ☺️

Du vet att exponenten kan skrivas "bakom" logaritmen, så det blir lgx × lgx! ( Tredje logaritmlagen ) 

Tyckte också den lät konstig, men kolla in denna tråd;

https://www.pluggakuten.se/trad/los-ekvationen-logaritmer-2/

1. Logaritmera VL och HL
2. Tredje logaritmlagen på VL och potenslagen vid potens med negativ exponent i HL
3. Första logaritmlagen på HL
4. Tredje logaritmlagen på båda termerna i HL

$$\begin{gathered} x^{lg\left(x\right)}=\raisebox{1ex}{$x^3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$100$}\right. \\ \left(1\right)\hspace{0.17em}lg\left(x^{lg\left(x\right)}\right)=lg\left(\raisebox{1ex}{$x^3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$100$}\right.\right) \\ \left(2\right)\hspace{0.17em}lg\left(x\right)·lg\left(x\right)=lg({10}^{-2}·x^3) \\ \left(3\right)\hspace{0.17em}lg\left(x\right)·lg\left(x\right)=lg\left({10}^{-2}\right)+lg\left(x^3\right) \\ \left(4\right)\hspace{0.17em}lg\left(x\right)·\cancel{lg\left(x\right)}=-2·lg\left(10\right)+3·\cancel{lg\left(x\right)} \\ lg\left(x\right)=1 \\ x=10 \end{gathered}$$

Det finns två lösningar till ekvationen. 

@Euclid, steg (4) ser lite mäkrlig ut när du dividerar bort lg(x).

@Karlamacken. Du kan kalla det jobbiga för något mindre jobbigt.

$\log(x) = u$
Vi får då $\log x \cdot \log x = 3 \log x -2$ efter logaritmering och mha vår sub får vi :

$u^2=3u-2 \iff u^2-3u+2 = 0 \iff u_1 = ... , u_2 = ...$
Sedan byter du bara tillbaka och löser ekvationen $\log x = u_1, \log x = u_2$. :)

jag har insett mitt fel själv, jag kunde bara andvända en av logaritmlagarna:

$$\begin{gathered} lgx\times lgx=lg{x}^3-lg100 \\ lgx\times lgx=3\times lgx-lg100 \\ lgx=t \\ {t}^2=3t-lg100 \\ t²-3t+2=0 \\ t=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2\right)} \\ t=1,5\pm \sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)-\left(\frac{8}{4}\right)} \\ t=1,5\pm \frac{1}{2} \\ {t}_1=10 \\ {t}_2=100 \end{gathered}$$

Ja, men det borde stå x₁ och x₂ i svaret inte t.

aha oj jag råka