Exponentialfunktioner

Du kan göra många sådana beräkningar när du lärt dig räkna med komplexa tal. Man lär sig en hel del sådant i Ma4, vill man lära sig ännu mera är det universitetsstudier i matematik som gäller.

Ja jag har sökt lite nu och i gymnasieböckerna så nämner man det som hastigast att basen till exponenten ska vara större än noll, men ingen djupare förklaring ges. På wikipedia kan jag ju se att en negativ bas inte ingår i definitionen, så det känns som om jag får lugna mig litet tills jag läst mer matte.
En annan sak som också nämns i Matte 5000 serien för matte2 är potensfunktion och exponentfunktion.
Min tolkning har varit om exponenten är variabeln så är det en exponentfunktion, men om basen är variabeln så är det en potensfunktion.
I de två exempel de har för att visa skillnaden ligger variabeln i exponenten. Den enda skillnaden är att vi söker basen i exemplet med potensfunktionen för att vi redan känner till variabelns värde i exponenten.

Det leder också tillbaka till min ursprungsfråga. Är det ingen exponentialfunktion om basen är negativ?

Vill bara påpeka att din fråga ej är korkad, det är ju dessa typer av diskussioner som är mest lärorika!

Vi borde nog först prata om vad definitionen av en exponentialfunktion. Exponentialfunktioner är på form $f(x)=a^x$ där $a$ är vad vi kallar basen och $x \in \mathbb{R}$. Grafen $f(x)=a^x$ kommer alltid innehålla punkten (0,1) eftersom vilket tal som helst upphöjt i noll är 1. 
$a^x >0$ för alla a men här måste $a>0$ eftersom annars har vi inte en exponentialfunktion, den blir ej kontinuerlig och endast definierad då x är ett heltal eftersom bråk i exponenten kan skrivas om som en rot och är då a < 0 blir det komplext.

Om vi tillåter komplexa tal är det sjävklart inga problem.

Smaragdalena skrev:

Du kan göra många sådana beräkningar när du lärt dig räkna med komplexa tal. Man lär sig en hel del sådant i Ma4, vill man lära sig ännu mera är det universitetsstudier i matematik som gäller.

Ja vad bra. Har bara integralavsnittet kvar så är det dags för komplexa tal sedan. Förmodligen i höst.
Jag hann lägga in ytterligare en fråga  innan jag såg ditt svar, men den kanske är lite enklare?

Dracaena skrev:

Vill bara påpeka att din fråga ej är korkad, det är ju dessa typer av diskussioner som är mest lärorika!

Vi borde nog först prata om vad definitionen av en exponentialfunktion. Exponentialfunktioner är på form $f(x)=a^x$ där $a$ är vad vi kallar basen och $x \in \mathbb{R}$. Grafen $f(x)=a^x$ kommer alltid innehålla punkten (0,1) eftersom vilket tal som helst upphöjt i noll är 1. 
$a^x >0$ för alla a men här måste $a>0$ eftersom annars har vi inte en exponentialfunktion, den blir ej kontinuerlig och endast definierad då x är ett heltal eftersom bråk i exponenten kan skrivas om som en rot och är då a < 0 blir det komplext.

Om vi tillåter komplexa tal är det sjävklart inga problem.

Tack för ett mycket bra svar på min första fråga!
Jag kompletterade med en fråga efteråt som känns lite enklare.

Är det ingen exponentialfunktion om basen är negativ?

Syftar du på detta?

Tillåter vi komplexa tal fungerar det. Eulers formel säger att $e^{\pi i}=-1$ och därmed har vi att $e^{ix}=\cos x + i \sin x$, stoppa vi in $\pi$ fås $e^{\pi i}=\cos \pi + i \sin \pi=-1$, detta ger nu att $(-1)^x=(e^{\pi i})^x= \cos (\pi i x) + i \sin (\pi i x)$. Nu kan vi ha vilken bas som helst, låt oss säga att vi vill ha -2 som du föreslog innan, då har vi nu $(-2)^x=2^x(-1)^x=2^xe^{\pi i x}$.

Tillåter vi inte komplexa tal har vi inte en exponentialfunktion om $a<0$.

Jag hann lägga in ytterligare en fråga  innan jag såg ditt svar, men den kanske är lite enklare?

Lägg in din fråga i ett nytt inlägg, så syns den bättre. 

Smaragdalena skrev:

Jag hann lägga in ytterligare en fråga  innan jag såg ditt svar, men den kanske är lite enklare?

Lägg in din fråga i ett nytt inlägg, så syns den bättre. 

Den hänger väldigt mycket ihop med ursprungsfrågan om du kikar.

Dracaena skrev:

Är det ingen exponentialfunktion om basen är negativ?

Syftar du på detta?

Tillåter vi komplexa tal fungerar det. Eulers formel säger att $e^{\pi i}=-1$ och därmed har vi att $e^{ix}=\cos x + i \sin x$, stoppa vi in $\pi$ fås $e^{\pi i}=\cos \pi + i \sin \pi=-1$, detta ger nu att $(-1)^x=(e^{\pi i})^x= \cos (\pi i x) + i \sin (\pi i x)$. Nu kan vi ha vilken bas som helst, låt oss säga att vi vill ha -2 som du föreslog innan, då har vi nu $(-2)^x=2^x(-1)^x=2^xe^{\pi i x}$.

 

Tillåter vi inte komplexa tal har vi inte en exponentialfunktion om $a<0$.

Ahh perfekt. Måste se till att hinna läsa avsnittet om komplexa tal innan jul, eftersom jag satt som mål att vara klar med mitt gymnasiearbete om talet e innan dess. Även om jag kanske bara kommer att nämna Eulers identitet. Just nu känns det som att jag får lite problem att ta med det också, men vi får se.

Jag har för mig att man inte går in så djupt i komplexa tal i matte 4 så det tror jag definitivt du hinner på någon vecka om du lägger ner lite tid! Speciellt när du har PA, då slipper man sitta fast på en uppgift eller skippa uppgifter man inte kan få till. Överlag, bra fråga!