Exponentialfunktioner

Brink skrev:

Hej!

Jag är lite osäker på en fråga, kommer fram till: 50=20*a^8

Dividerar bort 20 i båda led

0,4=a^8

Ska jag logaritmera båda led så här? log 0,4 = 8 log a sedan (log 4)/8 = log a

Välkommen till Pluggakuen!

Det ser ut som om du har skrivit fel på första raden där du skriver 50=20*a^8, men sedan blir det rätt längre ner när du kommer fram till att 0,4=a⁸.

Nej, du skall inte logaritmera, du skall ta åttonde roten ur båda sidor, så att du för a ensamt.

Nej, logaritmera skall du göra om x är i exponenten. Nu skall du dra åttonde roten ur.

Brink skrev:

...

0,4=a^8

Ska jag logaritmera båda led så här? log 0,4 = 8 log a sedan (log 4)/8 = log a

...

Du kan logaritmera bägge led och sedan lösa ut a, men det är onödigt krångligt.

Hej!

Låt $N(t)$ beteckna antalet häckande par av vitryggig hackspett som finns i Sverige $t$ år efter det att man började observationerna, som var år 1984. 

Tabellen visar att $N(0) = 50$ stycken och att $N(8) = 20$ stycken; år 1992 är ju 8 år senare 1984.

Forskarna tror att $N(t)$ minskar med tiden enligt det exponentiella sambandet

    $N(t) = N(0) a^{t} = 50\cdot a^{t},$

där minskningstakten $a$ är ett positivt tal $0 < a < 1$; om takten $a > 1$ så betyder det att antalet hackspettar ökar med tiden och om $a=1$ så betyder det att antalet hackspettar är konstant över tiden.

Informationen att $N(8) = 20$ talar om för dig vad minskningstakten är:

    $20 = 50 \cdot a^{8}\iff a^{8} = 2/5 \iff 8 \ln a = \ln(2/5) \iff \ln a = (1/8)\ln (2/5) = \ln (2/5)^{1/8}.$ 

Minskningstakten är därför lika med $a = (2/5)^{1/8}.$

Om forskarnas modell stämmer så kommer det att år 2004 (som är 20 år senare 1984) finnas

    $N(20) = 50 a^{20} = 50\cdot (2/5)^{2.5}$ stycken

par av vitryggiga hackspettar i Sverige.