exponentialfunktion med logaritmer

Ja, du ska ta fram en funktion vars derivata blir det angivna uttrycket.

Jag skulle börja med att ta fram den primitiva funktionen till uttrycket. Detta är ganska svårt att göra med $2$ som bas, men du kan försöka omvandla till en bas som är lättare att ta fram primitiv funktion till.

Hej!

Ett första steg kan vara att uttrycka derivatan $f'$ med basen $e$ istället för med basen $2$, eftersom det är lättare att anti-derivera (integrera) en sådan funktion.

Okej. Vi har inte kommit så långt i kursen som integraler och primitiva funktioner än, men nu läste jag lite om det.

Jag skriver funktionen med basen e:

 $f\text{'}\left(x\right)=C·(e^{\ln 2}{)}^{-0,2x}=C·e^{-0,2\ln 2x}$ 

Sen följer jag följande samband och sätter in mina värden:

$\frac{e^{kx}}{k}+C\to \frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$ 
(I min funktion multipliceras konstanten med funktionen, men i sambandet adderas den. Hur fungerar sambandet?)

Är jag på rätt spår? 

wajv19 skrev:

Okej. Vi har inte kommit så långt i kursen som integraler och primitiva funktioner än, men nu läste jag lite om det.

Jag skriver funktionen med basen e:

 $f\text{'}\left(x\right)=C·(e^{\ln 2}{)}^{-0,2x}=C·e^{-0,2\ln 2x}$ 

Sen följer jag följande samband och sätter in mina värden:

$\frac{e^{kx}}{k}+C\to \frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$ 
(I min funktion multipliceras konstanten med funktionen, men i sambandet adderas den. Hur fungerar sambandet?)

Är jag på rätt spår? 

Ja nästan.

Det är två olika konstanter. 

Du har tappat bort den konstanta faktorn C i ditt förslag på f(x). Du har infört en term med samma beteckning. Byt det till ngt annat, t.ex. K så att det inte krockar med C i f'(x).

Nästa steg är att kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera f(x) och se att resultatet blir f'(x).

Yngve skrev:

wajv19 skrev:

Okej. Vi har inte kommit så långt i kursen som integraler och primitiva funktioner än, men nu läste jag lite om det.

Jag skriver funktionen med basen e:

 $f\text{'}\left(x\right)=C·(e^{\ln 2}{)}^{-0,2x}=C·e^{-0,2\ln 2x}$ 

Sen följer jag följande samband och sätter in mina värden:

$\frac{e^{kx}}{k}+C\to \frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$ 
(I min funktion multipliceras konstanten med funktionen, men i sambandet adderas den. Hur fungerar sambandet?)

Är jag på rätt spår? 

Ja nästan.

Det är två olika konstanter. 

Du har tappat bort den konstanta faktorn C i ditt förslag på f(x). Du har infört en term med samma beteckning. Byt det till ngt annat, t.ex. K så att det inte krockar med C i f'(x).

Nästa steg är att kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera f(x) och se att resultatet blir f'(x).

Förstår jag dig rätt att du menar att funktionen f(x) ska stå som $K·\frac{e^{kx}}{k} +C \to K·\frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$? Så att C faller bort när funktionen deriveras medan K är konstant och förändras inte.

Precis, men jag skulle byta plats på C och K så att det stämmer bättre med uppgiftstexten.

wajv19 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

wajv19 skrev:

Okej. Vi har inte kommit så långt i kursen som integraler och primitiva funktioner än, men nu läste jag lite om det.

Jag skriver funktionen med basen e:

 $f\text{'}\left(x\right)=C·(e^{\ln 2}{)}^{-0,2x}=C·e^{-0,2\ln 2x}$ 

Sen följer jag följande samband och sätter in mina värden:

$\frac{e^{kx}}{k}+C\to \frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$ 
(I min funktion multipliceras konstanten med funktionen, men i sambandet adderas den. Hur fungerar sambandet?)

Är jag på rätt spår? 

Ja nästan.

Det är två olika konstanter. 

Du har tappat bort den konstanta faktorn C i ditt förslag på f(x). Du har infört en term med samma beteckning. Byt det till ngt annat, t.ex. K så att det inte krockar med C i f'(x).

Nästa steg är att kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera f(x) och se att resultatet blir f'(x).

Förstår jag dig rätt att du menar att funktionen f(x) ska stå som $K·\frac{e^{kx}}{k} +C \to K·\frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2}+C$? Så att C faller bort när funktionen deriveras medan K är konstant och förändras inte.

Ja, fast tvärtom. Faktorn "överlever" deriveringen och ska bli till faktorn $C$ i uttrycket för $f'(x)$. Konstanttermen försvinner i deriveringen.

Byt alltså plats på C och K i ditt förslag på primitiv funktion $f(x)$.

Derivera sedan ditt förslag på $f(x)$ och se om du då får fram $f'(x)$.

Okej. Nu har jag bytt plats på faktorerna och deriverat mitt förslag:
$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=C·\frac{e^{-0,2\ln 2x}}{-0,2·\ln 2x}+K \\ f\left(x\right)=C·2^{-0,2x} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} f\left(0\right)=40 \\ Alltså: \\ f\left(0\right)=C·2^{-0,2·0}=40 \\ C·1=40 \\ C=40 \end{gathered}$$
Svar: Exponentialfunktionen som uppfyller kraven är $f\left(x\right)=40·2^{-0,2x}$!
Stort tack för hjälpen allihopa! :)

Du har vänt på $f^{\text{'}}\left(x\right) och f\left(x\right) ???$

När du deriverar den primitiva funktionen så försvinner K som är lika med 40

och även  $-0,2\ln 2x$ under bråkstrecket går att förkorta bort efter derivering.

ConnyN skrev:

Du har vänt på $f^{\text{'}}\left(x\right) och f\left(x\right) ???$

När du deriverar den primitiva funktionen så försvinner K som är lika med 40

och även  $-0,2\ln 2x$ under bråkstrecket går att förkorta bort efter derivering.

 Vad menar du med att jag har vänt på f`(x) och f(x)?
Vad jag förstått så är C lika med 40 i denna funktion, inte K. 

Nej om du läser vad Yngve skrev också så ser du att k=40 försvinner när du deriverat. Du fick ju f’(x) givet från början och då var bara c kvar. Eller hur. 

wajv19 skrev:

ConnyN skrev:

Du har vänt på $f^{\text{'}}\left(x\right) och f\left(x\right) ???$

När du deriverar den primitiva funktionen så försvinner K som är lika med 40

och även  $-0,2\ln 2x$ under bråkstrecket går att förkorta bort efter derivering.

 Vad menar du med att jag har vänt på f`(x) och f(x)?
Vad jag förstått så är C lika med 40 i denna funktion, inte K. 

Till att börja med måste du använda parenteser till till logaritmuttryck i exponenten.

När du skriver $-0,2ln 2x$ så kan man tro att du menar $-0,2ln(2x)$ när du egentligen menar $-0,2ln(2)x$.

-----------

Om att du har vänt på $f(x)$ och $f'(x)$:

$f'(x)$ är given i uppgiften men i ditt svar har du kallat den för $f(x)$. Om du deriverar ditt förslag på $f(x)$ så får man varken fram det givna uttrycket för $f(x)$ eller det uttryck som du kallar $f'(x)$.

Så här tänkte jag utifrån derivatans definition:

Jag försöker att förstå din lösning "tomast80" men jag är inte med på din början riktigt när du inför B och 40. Som jag uppfattar det så borde väl B = 40 och inget annat?
Då stämmer svaret jag kom fram till bra med ditt svar om vi tar bort din sista term $\frac{C}{0,2\ln 2}$ men utveckla gärna lite hur du tänker kring B och 40.

Nu har jag kollat lite till och ser att ditt svar stämmer tomast80. Mitt svar fungerar inte för $f\left(0\right)=40$

Jag ska försöka klura lite till under dagen. Det ser ut som om jag får exakt samma svar som dig om jag tar hänsyn till att $f\left(0\right) =40$.

Lite avancerat blev det. Undrar om du "wajv19" har gett oss rätt förutsättning?

ConnyN skrev:

Jag försöker att förstå din lösning "tomast80" men jag är inte med på din början riktigt när du inför B och 40. Som jag uppfattar det så borde väl B = 40 och inget annat?
Då stämmer svaret jag kom fram till bra med ditt svar om vi tar bort din sista term $\frac{C}{0,2\ln 2}$ men utveckla gärna lite hur du tänker kring B och 40.

 Du är på rätt spår, men det man lätt luras av här är att exponentialfunktionen inte har värdet 0 för $x=0$ utan:

$\frac{C}{a}2^{-0,2\cdot 0}=\frac{C}{a}$

Det innebär att:

$f(0)=\frac{C}{a}+B=40\Rightarrow$

$B=40-\frac{C}{a}$

Man får helt enkelt dra av exponentialfunktionens värde i punkten 0!

Denna uppgift kräver inget annat än att vi vet vad derivatan av en exponentialfunktion är.

Vi vet ju att $\frac{d}{dx}{a}^x=\ln a a^x$. Detta gör att vi kan konstatera att om vår derivata har $2^{-0,2x}$ som exponentialdel har också vår funktion det.

Detta innebär att vi kan skriva vår funktion som $f\left(x\right)=D{2}^{-0,2x}$.

Villkoret att $f\left(0\right) = 40$ ger oss snabbt att D=40 alltså är funktionen $f\left(x\right) = 40*2^{-0,2x}$

EDIT: Rättade derivatan av exponentialfunktionen (var visst primitiva funktionen jag råkade skriva)

AndersW skrev:

Denna uppgift kräver inget annat än att vi vet vad derivatan av en exponentialfunktion är.

Vi vet ju att $\frac{d}{dx}{a}^x=\frac{1}{\ln {\displaystyle a}}{a}^x$. Detta gör att vi kan konstatera att om vår derivata har $2^{-0,2x}$ som exponentialdel har också vår funktion det.

Detta innebär att vi kan skriva vår funktion som $f\left(x\right)=D{2}^{-0,2x}$.

Villkoret att $f\left(0\right) = 40$ ger oss snabbt att D=40 alltså är funktionen $f\left(x\right) = 40*2^{-0,2x}$

 Bra poäng, Anders W! Det står ju att man bara ska ta fram en exponentialfunktion, inte alla. Alla lösningar ges ju av:

$f(x)=D\cdot 2^{-0,2x}+40-D$

Ditt alternativ: $D=40$ ger ju den enklaste lösningen!

Nej nu tror jag ni skrev fortare än ni tänkte?

$f\left(x\right)=a^{kx}$ och $f\text{'}\left(x\right)=a^{kx}·\ln a·k$

Vilket innebär att $f\left(x\right)=40·2^{-0,2x}$ vid derivering blir $f\text{'}\left(x\right)=40·2^{-0,2x}·\ln 2·(-0,2)$

Vår fråga lyder: "Ange en exponentialfunktion där $f\text{'}\left(x\right)=C·2^{-0,2x}$ och $f\left(0\right)=40$ samt C är en konstant."

1   $e^{\ln \left(2\right)}=2$
      Detta tipsade AlvinB och Albiki om.

2   Wajv19 utvecklade detta till $f\text{'}\left(x\right)=C·(e^{\ln \left(2\right)}{)}^{-0,2x}$
och fortsatte $f\text{'}\left(x\right)=C·e^{-0,2x·\ln \left(2\right)}$

3   Vi kan nu använda regeln att $f\text{'}\left(x\right)=e^{kx}$ är derivatan till den primitiva funktionen $f\left(x\right)=\frac{e^{kx}}{k}$
Att vi kan utelämna konstanten har AndersW gett oss tipset om eftersom vi bara behöver ange en exponentialfunktion och inte alla.

4   Då får vi $f\left(x\right)=C\frac{e^{-0,2x·\ln \left(2\right)}}{-0,2\ln \left(2\right)}$

5   Det är lätt att se att det stämmer om vi deriverar.

6   $f\left(0\right)=40$ medför att $C\frac{e^{-0,2x·\ln \left(2\right)}}{-0,2\ln \left(2\right)}=40$

7   Med $x=0$ får vi $\frac{C}{-0,2\ln \left(2\right)}=40$ och $C=-8\ln \left(2\right)$. Det ger oss till slut $f\left(x\right)=4·2^{-0,2x}$

Nu börjar jag undra om jag är ute och cyklar?

Under alla omständigheter vill jag tacka alla som bidragit så här långt. Inte minst Wajv19 som drog igång det hela och bidrog med mycket i början av tråden, tomast80 som visade hur man löste det för alla exponentialfunktioner och som vanligt Yngve och Smaragdalena som nästan alltid bidrar.

Edit: Oj vad häftigt nu ser jag ju att tomast80 och AndersW hade helt rätt och att jag hade fel i min replik. Jag har ju kommit till exakt samma resultat. 
Jag bugar mig för de kunniga.

Edit en gång till: Fel av mig. Det blev en 4 för mig och 40 för AndersW i svaret. Jag skriver förmodligen fortare än jag tänker nu :-)

Nu har jag hittat mitt fel och ja AndersW hade helt rätt. Svaret blir $f\left(x\right)=40·2^{-0,2x}$

En punkt till:

8   $f\left(x\right)=C\frac{2^{-0,2x}}{-0,2\ln \left(2\right)}=-8\ln \left(2\right)\frac{2^{-0,2x}}{-0,2\ln \left(2\right)}=40·2^{-0,2x}$

Med den infogad så blir min genomgång ovan komplett.