Exponentialfunktion & derivatan- hur många lämlar fanns det vecka 24?
Hej! Jag behöver hjälp med denna fråga:
Under ett antal veckor ökar antalet lämlar i ett område i Vindelfjällen exponentiellt med tiden. I starten på vecka 29 är det 8 000 lämlar i området och tillväxthastigheten per vecka är 3500 lämlar per vecka. Hur många lämlar fanns det i starten av vecka 24?
Jag tänkte att formeln för exponentialfunktioner är
C*a^x
antal lämnar som funktion av tiden(veckor):
L(t)=C*a^x
L(29)=C*a^29=8000
tillväxthastigheten är detsamma som derivatan:
L'(29)=C*29*a^28=3500
Då får jag ett ekvationssystem som jag lägger in i geogebra:
Tillsist lägger jag in konstanterna C och a, och upphöjer a i 24 då jag vill veta antal lämlar vid 24 veckor. Jag får alltså att det fanns 0 lämlar, men det är helt fel, svaret ska vara 900st.
Någon som kan ge mig en ledtråd om vad jag gjort fel?
Jag tänker inte som du:
Förändringsfaktorn för en vecka är (8000+3500)/8000 = 1,4375
Så fem veckor tidigare är antalet 8000/ (1,43755)
Oj, ser att det var FEL. Jag fick 1300. Får tänka litet till.
Tillväxthastighet det rör jag ofta till. Nytt försök:
y(x) = 8000 ekx
y’ = 8000 k ekx
Låt vecka 29 vara vecka 0 och vecka 24 vara vecka –5
y’(0) = 3500 = 8000 k e0
k = 0,4375
y(–5) = 8000 e–5*0,4375 ≈ 898
Jaha, jag använde fel form av exponentialfunktion! Det ska ju vara, som du gjorde, C*e^kx, ellerhur?
Dessa uppgifter är en svag punkt i min rustning. Men det blev i alla fall samma svar som facit.
Jag tänker att C ax bör vara teoretiskt ok, men du gör fel i derivatan,
den blir C ax lna
Men jag har inte kollat.
Jag kollade, y(x) = 8000 ax
ger a = e0,4375 ≈ 1,54883
så y(–5) = 8000 * 1,54883–5 ≈ 898
så det funkar också om man kommer ihäg ln(a) vid deriveringen.
Tänk på att derivatan av xa är axa–1 när basen x är variabel, men derivatan av ax är axlna när exponenten är variabel.
Jaaa, förstår nu! Som du sa hade jag glömt reglerna för derivatan med a upphöjt i x. Tack så jättemycket för hjälpen!
