Exponentialfördelad livslängd (seriekopplat system)

Hej, har lite problem med följande uppgift:

Nisse köper en julgransbelysning. Han vet av erfarenhet att livslängden för var och en av lamporna är exponentialfördelad med parametern $λ$ . Belysningen består av n seriekopplade lampor. Vad är sannolikheten att julgransbelysningen fungerar vid tiden t och vad blir den förväntade livslängden (väntevärdet)?

Tänker att varje lampa har en fördelningsfunktion $F_{X} (t) = 1 - e^{- λ t}$ för en viss tid t som beskriver dess livslängd. Eftersom det är ett seriekopplat system så vill jag bestämma fördelningsfunktionen för $Y = m i n (T_{1}, . . ., T_{n})$ , alltså $F_{Y} (t)$ .

Får med det resonemanget fram följande:

$F_{Y} (t) = P (Y \leq t) = P (m i n (T_{1}, . . ., T_{n}) \leq t) = 1 - P (m i n (T_{1}, . . ., T_{n}) > t = 1 - P (T_{1} > t, . . ., T_{n} > t) = = 1 - (1 - F_{X_{1}} (t)) * . . . * (1 - F_{X_{n}} (t)) = 1 - (1 - F_{X})^{n} = 1 - (1 - (1 - e^{- λ t}))^{n} = 1 - e^{- n λ t}$

Känns som jag är helt ute och cyklar. Facit säger att sannolikheten för att belysningen (systemet) fungerar vid tiden t är $e^{- n λ t}$ och att väntevärdet är $\frac{1}{n λ}$ . Skulle verkligen uppskatta tips och råd om hur man löser uppgiften.

Hej!

Olikheten $\min(T_1,...T_n)>t$ betyder att vid tidpunkten $t$ lyser samtliga $n$ stycken lampor i ljuskedjan, vilket är samma sak som att $T_1 > t$ och $T_2 > t$ och ... och $T_n > t$ . Oberoende lystider $T_k$ betyder att sannolikheten för händelsen $\min(T_1,...,T_n)>t$ kan skrivas som en produkt av sannolikheter

$P(\min(T_1,...,T_n)>t) = \prod_{k=1}^{n} P(T_k>t) = (P(T> t))^{n},$

eftersom samtliga lampor beskrivs av samma sannolikhetsfördelning.

Du vet att lampornas lystider är exponentialfördelade $Exp(\lambda)$ vilket betyder att $P(T>t) = e^{-\lambda t}$ så att ljuskedjans sannolikhetsfördelning är

$P(\min(T_1,...,T_n)>t) = e^{-n\lambda t}\ , t \geq 0;$

detta är sannolikhetsfördelningen för en exponentialfördelning $Exp(n\lambda)$ .

Fördelningsfunktionen är

$1-e^{-n\lambda t}\ , t \geq 0$

och väntevärdet hos en exponentialfördelning $Exp(\mu)$ är $1/\mu$ .

Albiki skrev:
Hej!
Olikheten $\min(T_1,...T_n)>t$ betyder att vid tidpunkten $t$ lyser samtliga $n$ stycken lampor i ljuskedjan, vilket är samma sak som att $T_1 > t$ och $T_2 > t$ och ... och $T_n > t$ . Oberoende lystider $T_k$ betyder att sannolikheten för händelsen $\min(T_1,...,T_n)>t$ kan skrivas som en produkt av sannolikheter
$P(\min(T_1,...,T_n)>t) = \prod_{k=1}^{n} P(T_k>t) = (P(T> t))^{n},$
eftersom samtliga lampor beskrivs av samma sannolikhetsfördelning.
Du vet att lampornas lystider är exponentialfördelade $Exp(\lambda)$ vilket betyder att $P(T>t) = e^{-\lambda t}$ så att ljuskedjans sannolikhetsfördelning är
$P(\min(T_1,...,T_n)>t) = e^{-n\lambda t}\ , t \geq 0;$
detta är sannolikhetsfördelningen för en exponentialfördelning $Exp(n\lambda)$ .
Fördelningsfunktionen är
$1-e^{-n\lambda t}\ , t \geq 0$
och väntevärdet hos en exponentialfördelning $Exp(\mu)$ är $1/\mu$ .

Tack så mycket för svar Albiki! Tror jag förstår nu. En dum fråga bara; i min lärobok står det att täthetsfunktionen för en exponentialfördelning är $λ e^{- λ x}$ . Vart tar $λ$ i början av uttrycket $e^{- n λ t}$ vägen?

Täthetsfunktionen får du om du deriverar fördelningsfunktionen, så eftersom fördelningsfunktionen är $1-e^{-\lambda t}$ blir dess derivata

$0-(-\lambda)e^{-\lambda t} = \lambda e^{-\lambda t}.$

Svara

Visa senaste svar