exponentialekvationer av två pooler
Hej!
jag försöker göra en "principiell" graf som visar det jag snart ska berätta:
Jag har mätt passagehastigheten av ämne x genom 2 pooler. Ämne x hamnar genom en pulsdos i pool 1 som redan är fylld med andra ämnen. ämnet lämnar sedan pool 1 genom att följa principen att "en lika stor andel av ämnet försvinner ur poolen hela tiden", concentrationen av ämne x i pool 1 är alltså exponentiellt avtagande.
Den fraktion av ämne x som lämnar pool 1 hamnar i pool 2 (som också innehåller en massa andra ämnen). Även pool 2 följer förutsättningen att "en lika stor andel av ämne x som finns i poolen lämnar poolen hela tiden". Dock är ju denna "pool 2" beroende av utsöndringen från pool 1. Nu närmar vi oss frågan...
Data man får ut genom att undersöka ämne x:s resa genom dessa pooler skapar en gemensam kurva (som visar koncentrationen av ämne x vid tiden t), och kan inte visa koncentrationsförändringen av ämne x i respektive pool. Koncentrationskruvan av ämne x i pool 1 och pool 2 gemensamt ser ut ungefär såhär:
Jag vill göra en schematisk bild som visar koncentrationen av ämne x i pool 1 och pool 2 separat, men jag vågar inte lita på min lilla hjärna som är ganska säker på att detta stämmer. Det finns källor som snuddar vid detta svar, men som beskriver ett något annorlunda skeenden, såhär ser den ut ungefär: 
röd= pool 1
Svart = pool 2
Y-axeln= koncentration av ämne x
x-axeln= tid
FRÅGAN:
Jag vill kunna verifiera min tanke med en uträkning. Jag vill alltså räkna ut koncentrationen av ämne x i pool 2 vid tiden t (för alla t:n). Pool 1 vet jag ju följer den exponentiellt avtagande formen, men hur det blir i pool 2 är lite ovisst trots allt.
Jag tänker mig en exponentialekvation, vilken som helst. ex: Ce^(-kt) som kan representera kurvan för pool 1.
..... om man skulle lägga en polsdos av ämne x i pool 2 skulle den också anta formen Ce^(-kt), men nu är det ingen pulsdos, utan dosen är beroende av pool 1:s Ce^(-kt). Här tar min problemlösarförmåga slut. Jag är ingen matematiker, men skulle gärna vilja visualisera koncentrationen av ämne x i pool 2. Tips på hur jag kan göra för att komma vidare?
Tack på förhand!
(eloge till dig som läst hela)
Den här "lika stor andel försvinner ut", är den andelen lika stor för båda poolerna? Flyter vätska ut lika fort som den flyter in, så att volymen hålls konstant?
Hej!
tack för frågorna.
för att kunna göra en enklare uträkning kan man göra det antagandet, dvs att volymen i poolerna är konstant och att lika stor andel av volymerna försvinner ut från bägge poolerna (även om det i modellen som jag använder är så att passagen från pool 2 är snabbare än den från pool 1; men skillnaden kan, beroende på försöksomgång, vara så liten att den blir negligibel).
Om vi kallar volymen hos poolerna för V (liter), och flödet in/ut per tidsenhet för f (liter/s), och definierar en konstant a = f/V, så blir koncentrationen x i pool 1 som du säger exponentiellt avklingande x(t) = x0(1 - e^(-at)).
I pool 2 är koncentrationen y. y'(t) = x0*a*e^(-at) - y*a. Jag vet inte om du har lärt dig lösa sådana diffekvationer, men man kan ansätta (At+B)e^(-at). Det blir till slut y(t) = x0*a*t*e^(-at), om jag inte har missat nån integrationskonstant nånstans.
jag ska försöka titta på det där! Jag känner inte igen den typen av differentialekvationer, men jag ska göra mitt bästa.
Supertack för din fina insats!! :)
En fråga om den här modellen: är det tillräckligt verklighetstroget att anta att ämnet sprider sig jämnt instantant i poolerna?
Kanske om flödena är små och man rör om ordentligt hela tiden.
