Explicit formel

Formeln för summan av kvadrater är

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

är inte jättevälkänd men det finns några olika sätt att ta fram den. Demonstrerade själv min favoritmetod på ett seminarie jag hade inte alltför länge sedan. Själva formeln återfinns generellt under rubriken (kvadrat)Pyramidtal då de motsvarar antalalet klot i pyramider när man bygger dem av klot.

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_pyramidal_number

Att finna formeln från scratch skulle jag säga är ganska svårt men om du kör bet på det skulle jag rekommendera att läsa olika sidor om pyramidtalen och se vilken härledning som du tycker är enklast.

SeriousCephalopod skrev :

 

Formeln för summan av kvadrater är

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

är inte jättevälkänd men det finns några olika sätt att ta fram den. Demonstrerade själv min favoritmetod på ett seminarie jag hade inte alltför länge sedan. Själva formeln återfinns generellt under rubriken (kvadrat)Pyramidtal då de motsvarar antalalet klot i pyramider när man bygger dem av klot.

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_pyramidal_number

Att finna formeln från scratch skulle jag säga är ganska svårt men om du kör bet på det skulle jag rekommendera att läsa olika sidor om pyramidtalen och se vilken härledning som du tycker är enklast.

Har aldrig stött på pyramidtal tidigare, har formeln med geometrisk/aritmetisk talföljd att göra? Om ja, i så fall vilken? Om inte, kan man komma fram till denna formel med hjälp av geometrisk/aritmetisk talföljd? Hur gör man det?

Den är avlägset relaterad till aritmeriska summan i den meningen att de båda tillhör en klass av summor på formen

$1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p$

där p = 2 i pyramidtalsfallet och p = 1 i fallet för aritmetiska summan.

En av metoderna för att bevisa aritmetiska summans formel kan användas för att bevisa pyramidtalsformeln men finns ju så många metoder för att finna aritmetiska summans formel att det inte är till direkt hjälp. (Men nej, den följer inte så vitt jag vet direkt av någon av de två formlerna)

Innan jag återger min lösning imorgon (eller länkar till en sida med den lösningen) kan du ju testa att verifiera formeln med ett induktionsbevis och se om du i utförandet av induktionsbeviset får några idéer för hur ett annat bevis kunde utföras. 

SeriousCephalopod skrev :

Den är avlägset relaterad till aritmeriska summan i den meningen att de båda tillhör en klass av summor på formen

$1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p$

där p = 2 i pyramidtalsfallet och p = 1 i fallet för aritmetiska summan.

En av metoderna för att bevisa aritmetiska summans formel kan användas för att bevisa pyramidtalsformeln men finns ju så många metoder för att finna aritmetiska summans formel att det inte är till direkt hjälp. (Men nej, den följer inte så vitt jag vet direkt av någon av de två formlerna)

Innan jag återger min lösning imorgon (eller länkar till en sida med den lösningen) kan du ju testa att verifiera formeln med ett induktionsbevis och se om du i utförandet av induktionsbeviset får några idéer för hur ett annat bevis kunde utföras. 

När jag utför induktionsbeviset ska jag anta att jag visste den explicita formeln du angav i ditt första inlägg? I såfall känns det inte som att jag har kommit fram till formeln utifrån det boken och läraren har lärt mig

Hälften av alla induktionsbevis är att man testar några specialfall, gissar en formel, och sedan bevisar att den stämmer. Här har vi bara skippat gissningen och hoppat direkt till beviset men ja om du ska göra det så ska man börja med formeln.

Jag vet inte vad som är bakgrunden för uppgiften. Som sagt att ta fram den där formeln är inte ett standardbevis så ni måste ha fått något sammanhang. Jag har kört det där problemet med +3:eårs högskolestudenter och de går också bet på det utan sammanhang.  

Om temat är summanotation så kanske läraren eg. bara velat att man ska ställa upp summaformeln och om det är den "explicita formeln" så skulle det ju inte finnas mer att göra.

SeriousCephalopod skrev :

Hälften av alla induktionsbevis är att man testar några specialfall, gissar en formel, och sedan bevisar att den stämmer. Här har vi bara skippat gissningen och hoppat direkt till beviset men ja om du ska göra det så ska man börja med formeln.

 

Jag vet inte vad som är bakgrunden för uppgiften. Som sagt att ta fram den där formeln är inte ett standardbevis så ni måste ha fått något sammanhang. Jag har kört det där problemet med +3:eårs högskolestudenter och de går också bet på det utan sammanhang.  

Om temat är summanotation så kanske läraren eg. bara velat att man ska ställa upp summaformeln och om det är den "explicita formeln" så skulle det ju inte finnas mer att göra.

Bakgrunden till denna uppgift är att kunna avgöra hur många skal "stora" atomer har utifrån antalet protoner = elektroner. 

Kombinatorik skrev :

SeriousCephalopod skrev :

... 

Bakgrunden till denna uppgift är att kunna avgöra hur många skal "stora" atomer har utifrån antalet protoner = elektroner. 

Menade mer vad är det för annan matematik som ni studerar.runtomkring den här uppgiften. Som vad kapitlet eller modulen heter.

Själva inspirationen för uppgiften förstår jag men det är ingen fysik/kemiuppgift det här. I verkligheten så fylls inte skalen upp fullt ut innan nästa börjar få elektrerelektroner för grundämnen med många elektroner. Se på skalkonfigurationen för guld

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gold

5:e kalets är inte ufllten rots att det finns en elektron i 6:eskalet.