Existerar någon kontinuerlig funktion med angiven Df och Vf, flervariabel

b)

$f(x)=\tan (\pi (x-\frac{1}{2}))$

De andra är värre. 

Med reservation för mina svårigheter att läsa den något otydliga texten:

c. Nej, inversa bilden av en öppen mängd f(D) under en kont. fkn måste vara öppen.

d. Nej, kontinuerliga bilden av den sammanhängande mängden D måste vara sammanhängande, vilket inte f(D) inte är här.

Det är egentligen svårt att svara på denna fråga utan att först specificera vilka topologier man har på domän och målmängd. Med lämpliga val av topologier kan vilken funktion som helst göras kontinuerlig. Jag tänker att man skall anta att målmängden är R  med standardtopologin och att topologin på D är den som induceras av standardtopologin på R.

e) verkar i alla fall lätt: f(x) = 0 då 0 $\le$ x $<$ 1; f(x) = 1 då 1 $<$ x $\le$ 2.

På c) tror jag man skall utnyttja att [0, 1] är en kompakt mängd men inte ]0, 1[ (ej sluten delmängd i R). En kontinuerlig funktion avbildar en kompakt mängd på en kompakt mängd - om jag kommer i håg rätt.

f) f(x) = 1 - 2|x - 1/2| då x$\in$ [0, 1[.

a) f(x) = (1/2)(1 + sin(2$\mathrm{\pi }$x)) då x$\in$]0, 1[.

b) f(x) = $\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)}$ då x $\in$ ]0, 1[.