Existerar gränsvärde? flera variabler

Om du går över till polära koordinater så blir limes-uttrycket enklare, det blir bara r som går mot oändligheten. Hur såg det ut?

Jag förstår inte varför det blir bara r, inte r^2?

Det blir såhär för mig: $\underset{r^2\to \infty }{\lim }\frac{r^5{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta }{r^4({\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta )}$

Jag förstår inte om jag kan stryka r^4 så att det bara är ett r kvar i täljaren och sedan tänka att hela uttrycket går mot oändligheten? Men är det säkert att r går mot oändligheten bara för att r^2 gör det?

Du kan kanske välja $\theta$ så att täljaren blir 0 men inte nämnaren?

Ja, visst går r mot oändligheten om r² gör det. Annars skulle omvänt r² kunna gå mot oändligheten fast r inte gör det.

Okej... så om jag väljer $\theta =0$ då får jag $\underset{r^2\to \infty }{\lim }\frac{r·1·0}{1+0}=0$. Kan jag då dra slutsatsen att gränsvärdet existerar och är lika med noll?

Står det i uppgiften att du ska välja någon särskild väg mot oändligheten?

Nej, uppgiften är bara att "beräkna följande gränsvärde eller bevisa att det inte existerar"

Får du samma värde vilken väg du än går?

Ja, jag tror det, "r" försvinner ju helt så det verkar inte spela någon roll? Om man får välja vilket $\theta$ man vill?

Frågan är inte om det finns en väg sådan att gränsvärdet är definierat, frågan är om gränsvärdet är definierat, alltså vilken väg man än går.

Just det. Då tolkar jag det i så fall som att det inte existerar nåt gränsvärde eftersom man kan få alla möjliga olika värden beroende på hur man väljer $\theta$?

Just det.