Existensen av max o min beror på om största elr minsta värde existerar?

f är kontinuerligt deriverbar och definierad på hela R. Randpunkter saknas därför. Eventuellt Största- resp minsta värde kan då bara antas i punkt där derivatan är 0. (Kallas Stationär punkt). OBS En icke deriverbar fkn kan mycket väl ha ett största värde.

Mi

Tomten skrev:

f är kontinuerligt deriverbar och definierad på hela R. Randpunkter saknas därför. Eventuellt Största- resp minsta värde kan då bara antas i punkt där derivatan är 0. (Kallas Stationär punkt). OBS En icke deriverbar fkn kan mycket väl ha ett största värde.

Mi

Vad menas med att randpunkter saknas? Kan du ge exempel på en icke deriverbar funktion som har största värde?

R. är en öppen mängd. Det innebär att varje punkt har en omgivning helt belägen i R. En omgivning till en randpunkt måste innehålla minst en punkt utanför och en inne i mängden. Några sådana punkter finns alltså inte i R.

Definiera funktionen f som  f(x)=1 för x rationellt och f(x)=0 för x irrationellt. Då är f inte vare sig kontinuerlig eller deriverbar i någon enda punkt. Likväl har f största värdet =1 och minsta värdet = 0.

Tomten skrev:

R. är en öppen mängd. Det innebär att varje punkt har en omgivning helt belägen i R. En omgivning till en randpunkt måste innehålla minst en punkt utanför och en inne i mängden. Några sådana punkter finns alltså inte i R.

Definiera funktionen f som  f(x)=1 för x rationellt och f(x)=0 för x irrationellt. Då är f inte vare sig kontinuerlig eller deriverbar i någon enda punkt. Likväl har f största värdet =1 och minsta värdet = 0.

Hur kan minsta värde vara 0? 

1. Något mindre värde antas inte.

2. Värdet 0 antas i t ex x=sqr(2)  (och dessutom i ett överuppräkneligt antal andra punkter).

Tomten skrev:

1. Något mindre värde antas inte.

2. Värdet 0 antas i t ex x=sqr(2)  (och dessutom i ett överuppräkneligt antal andra punkter).

Ok ,men om vi deriverar f =1 är derivatan 0 vilket innebär att funktionen är ej deriverbar men är kontinuerlig ,så största värde är bara 1 och den har inget minsta värde 

Den är inte deriverbar i någon punkt, men har likväl både största och minsta värde. Titta här på definitionen av t ex största värde: En reell funktion f har ett största värde A omm 

1. f(x)<= A för alla x i D_f

2. Det finns x₀  i D_f  sådant att f(x₀ )= A

Tomten skrev:

Den är inte deriverbar i någon punkt, men har likväl både största och minsta värde. Titta här på definitionen av t ex största värde: En reell funktion f har ett största värde A omm 

1. f(x)<= A för alla x i D_f

2. Det finns x₀  i D_f  sådant att f(x₀ )= A

Okej så definitionsmängd för f(x)=1 är alla x ? Jag vet ej hur vi ska applicera den här defiitinitoonen av största värde i denna exemplet.. är bara lite förvirrad

D_f för f är  fortfarande hela R, men f(x)=1 enbart för rationella x.

Tomten skrev:

D_f för f är  fortfarande hela R, men f(x)=1 enbart för rationella x.

Vad innebär rationella x?

destiny99 skrev:

Tomten skrev:

D_f för f är  fortfarande hela R, men f(x)=1 enbart för rationella x.

Vad innebär rationella x?

Rationella tal är tal som kan skrivas somett bråk med ett heltal i täljaren och ett heltal i nämnaren. Exempel på tal som inte är rationella är $\pi$, $\sqrt2$ och $3+4i$.

Smaragdalena skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Tomten skrev:

D_f för f är  fortfarande hela R, men f(x)=1 enbart för rationella x.

Vad innebär rationella x?

Rationella tal är tal som kan skrivas somett bråk med ett heltal i täljaren och ett heltal i nämnaren. Exempel på tal som inte är rationella är $\pi$, $\sqrt2$ och $3+4i$.

Tack !