Excitation av atom

Hej! Jag behöver hjälp att förstå denna uppgift. Jag vet inte om jag resonerar på rätt sätt, även om jag får ett korrekt svar. I facit så ges en helt annan lösningsmetod som jag inte begriper överhuvudtaget. Det känns mycket mer naturligt att lösa den på sättet jag gör, men jag vet ju som sagt inte om det är okej att göra så.

Jag bifogar här en bild på problemtexten:

Jag resonerar såhär:

Med våglängderna som vi har givet i uppgiftstexten kan vi se att den lägsta av alla våglängder är 87,9nm. Denna våglängd måste då alltså motsvara den största energidifferensen (ty störst frekvens och E=hf). Den största energidifferensen måste rimligtvis vara då vi låter atomen de-exciteras från den högsta energinivån till grundtillståndet. Eftersom båda dessa är givna i figuren så drar jag slutsatsen att E=-19,2 är grundtillståndet och att E=-5,1 är den högsta energinivån.

Efter att ha jämfört de energinivåer som var givna med de givna våglängderna återstår tre stycken våglängder (157, 200 och 354 nm) som alltså ska ha att göra med den sökta energinivån $E_x$.

Enligt samma typ av resonemang tänker jag att utav dessa tre våglängder så måste den kortaste utav dem (157nm) svara mot den största energidifferensen, dvs vid de-excitation från $E_x$ till grundtillståndet.

Detta leder till att

$$\begin{gathered} ∆E = E_x- E_1 = \frac{hc}{\lambda }\Rightarrow E_x =\frac{hc}{\lambda }+ E_1 \\ där \lambda =157 nm och E_1 = -19,2 eV \\ \Rightarrow E_x =\frac{6,626*{10}^{-34}*3*{10}^8}{1,6*{10}^{-19}*157*{10}^{-9}}- 19,2 =-11,3 eV \end{gathered}$$

Och detta är ju rätt svar enligt facit, men med som sagt helt annan lösningsmetod. Kan jag tänka så som jag gör? Gör jag några antaganden (ex. med grundtillstånd etc) som inte är hållbart? Är min lösning helt fel, även om svaret råkar bli samma?

Mycket tacksam för svar!

Mvh