Exakt lösning tiologaritmer 3^x=4 x 2^x

Målet är att isolera x ensamt, precis som vanligt. Dividera båda led med $2^x$, så att du får:

$\frac{3^x}{2^x}=4 \iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=4$

Nu kan du ta tiologaritmen av båda led. Vad får du då? :)

Då får jag 

$\log (\frac{3}{2}{)}^x= \log 4 \iff x \log (\frac{3}{2}) = \log 4.$

Jag vill ha x ensamt i VL och delar därför båda led med log (3/2).

Lösningen blir $\frac{\log 4}{\log (3/2)}$.

Tack för hjälpen!

Mycket bra! 

Hej!

Du kan även notera att $4 = 2^2$ vilket ger ekvationen

    $3^{x} = 2^{x+2} \iff x\ln 3 = (x+2)\ln 2 \iff x(\ln 3-\ln 2) = 2\ln 2 \iff x=\frac{2\ln 2}{\ln 3-\ln 2}=\frac{2}{\frac{\ln 3}{\ln 2}-1}.$

Hej Albiki!

Nu inser jag att jag inte riktigt har kläm på förhållandet mellan ln, den naturliga logaritmen och lg (log), 10-logaritmen.

Det svar jag föreslog ovan var ju ett svar med lg och du presenterade en lösning med ln.

Du får gärna förklara sambandet mellan ln och lg.

:-)

ln är den naturliga logaritmen, alltså den logaritm som använder e som bas, medan tiologaritmen (log eller lg) använder tio som bas. log(19) frågar "Vad ska vi upphöja tio till för att få nitton?" medan ln(19) frågar "Vad ska vi upphöja e till för att få 19?". Du kan lika gärna använda något annat tal som bas, exempelvis två eller sexton. Samma räkneregler gäller för alla baser.

Om du vill kan du se ln och log som olika färger på din logaritmpalett. De passar olika bra i olika sammanhang, men alla går att måla med. :)

För $a>0$ gäller att:

$a=e^{\ln a}=10^{\lg a}$

Tack för förklaringar!

Lisa Mårtensson skrev:

Hej Albiki!

Nu inser jag att jag inte riktigt har kläm på förhållandet mellan ln, den naturliga logaritmen och lg (log), 10-logaritmen.

Det svar jag föreslog ovan var ju ett svar med lg och du presenterade en lösning med ln.

Du får gärna förklara sambandet mellan ln och lg.

:-)

Sambandet är en proportionalitet.

    $\ln x= k\cdot \lg x$

där konstanten $k$ beror på de två baserna som används, vilka är talen $e$ och $10$ i detta fall.