Exakt i omr, flervarre

Jag har aldrig ens hört talas om det begreppet, vadå om en form är exakt? Få se a) uppgiften?

Qetsiyah skrev:

Jag har aldrig ens hört talas om det begreppet, vadå om en form är exakt? Få se a) uppgiften?

Det kallas "exakt" om uttrycken P och Q är partiella derivator (m.a.p. x respektive y) till samma funktion.

Prova därför att hitta en primitiv till P(x, y) m.a.p. x, och istället för att lägga på en konstant C efteråt, lägg på en okänd funktion f(y). Derivera sedan allt m.a.p. y, och se om du kan välja f(y) så att den här partiella derivatan matchar Q.

Har du gjort a)? 

I så fall vet du att om $\omega$ är exakt, så gäller $\underset{\gamma }{\oint }\omega = 0$, för varje sluten kurva $\gamma$ i D.

Om du kan hitta en kurva $\gamma$ sådan att $\underset{\gamma }{\oint }\omega \ne 0$, så har du därmed visat att formen inte kan vara exakt. 

Skaft skrev:

Det kallas "exakt" om uttrycken P och Q är partiella derivator (m.a.p. x respektive y) till samma funktion.

Prova därför att hitta en primitiv till P(x, y) m.a.p. x, och istället för att lägga på en konstant C efteråt, lägg på en okänd funktion f(y). Derivera sedan allt m.a.p. y, och se om du kan välja f(y) så att den här partiella derivatan matchar Q.

Typ såhär?!

PATENTERAMERA skrev:

Har du gjort a)? 

I så fall vet du att om $\omega$ är exakt, så gäller $\underset{\gamma }{\oint }\omega = 0$, för varje sluten kurva $\gamma$ i D.

Om du kan hitta en kurva $\gamma$ sådan att $\underset{\gamma }{\oint }\omega \ne 0$, så har du därmed visat att formen inte kan vara exakt. 

Jo, men fattade ändå inte hur jag skulle använda det 🤦‍♀️

Louiger skrev:

Typ såhär?!

Se över derivatorna igen! Tänk på att y är variabeln nu, inte x.

Man kan också undersöka saken genom att derivera P m.a.p. y, och Q m.a.p. x. Dessa derivator måste vara lika om funktionen U existerar.

Enklast är nog att integrera runt enhetscirkeln med centrum i origo.

Nu kanske jag är ute och cyklar, men om man har en differential Pdx + Qdy, är det inte när $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ som differentialen har den där egenskapen?

Laguna skrev:

Nu kanske jag är ute och cyklar, men om man har en differential Pdx + Qdy, är det inte när $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ som differentialen har den där egenskapen?

Jodå, det är ett nödvändigt villkor. Men eftersom vi ska ha en potentialfunktion som ska fungera i ett helt område är det också rättvist att ställa något sorts krav på regulariteten hos området.

Ett exempel kan vara att området ska vara "enkelt sammanhängande".

Det som eventuellt kan krångla i den här uppgiften är att vårt område har ett otäckt singulärt karieshål i (0,0)

Skaft skrev:

Louiger skrev:

Typ såhär?!

Se över derivatorna igen! Tänk på att y är variabeln nu, inte x.

Man kan också undersöka saken genom att derivera P m.a.p. y, och Q m.a.p. x. Dessa derivator måste vara lika om funktionen U existerar.

Ok ser nu ska vara y ist för x i första, men utöer det ser det rätt ut och rätt tänkt typ?

Började med det sistnämnda och fick derivatorna att överenstämma, men i facit stod det att w inte var exakt vilket gjorde att det inte hjälpte.

Ahå, jag hittade också $U(x, y) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) - \arctan(\frac{x}{y})$, som jag tyckte hade rätt derivator och därför borde $\omega$ vara exakt. Men jag antar att man kan argumentera att denna U inte är definierad i hela D, eftersom y=0 ger problem?

Ja, $D$ är ett exempel på ett område som inte är enkelt sammanhängande.

Studerar man en sluten linjeintegral av valfri radie (eller något annat som går runt singulariteten i (0,0)) får vi resultatet $2\pi$. Det innebär att fältet inte har en potentialfunktion i området $D$.

Något intressant att lägga märke till är att Skafts potential gör språng  $\mu=U_+-U_-$ i gränsytan mellan $y\to0^{+}$ och $y\to0^{-}$.

Är språnget alltid lika stort oavsett värde på x? Byter det tecken? Vad händer om man korsar gränsytan först i det högra- och sedan det vänstra halvplanet då man försöker röra sig i en cirkel kring (0,0)?

Jroth skrev:

Ja, $D$ är ett exempel på ett område som inte är enkelt sammanhängande.

Studerar man en sluten linjeintegral av valfri radie (eller något annat som går runt singulariteten i (0,0)) får vi resultatet $2\pi$. Det innebär att fältet inte har en potentialfunktion i området $D$.

Något intressant att lägga märke till är att Skafts potential gör språng  $\mu=U_+-U_-$ i gränsytan mellan $y\to0^{+}$ och $y\to0^{-}$.

Är språnget alltid lika stort oavsett värde på x? Byter det tecken? Vad händer om man korsar gränsytan först i det högra- och sedan det vänstra halvplanet då man försöker röra sig i en cirkel kring (0,0)?

Tack, tror jag äntligen börjar fatta,  dubbelkoll bara. Även att det går att räkna fram en potentialfunktion så finns det inget potentialfält om definitionsmängden ej är enkelt sammanhängande och då finns det heller ingen potentialfunktion och därmed kan ej formen vara exakt?