Ex tenta fråga, Beräkna avbildningens samtliga egenvärden och egenvektorer.

Hej!

Ekvationen $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ ger dig egenvektorerna $\vec{v_{i}}$ tillhörande egenvärdena $\lambda_{i}$ för den linjära avbildningen $A$ som motsvaras av spegling i det givna planet. 

Då får du börja tänka, om jag speglar en vektor i detta plan, vad händer? Hur beskriver jag detta problem enklast? (svaret är att tolka det i basen givet av normalen till planet och två linjärt oberoende vektorer som spänner upp planet). Vad händer med exempelvis normalen? Jo, den hamnar ju "på andra sidan i normalens riktning" (alltså speglas...) i planet, så normalen $\vec{n}$ till planet uppfyller alltså att $A\vec{n}=-1\cdot \vec{n}$. Då ser vi att normalen $\vec{n}$ är en egenvektor tillhörande egenvärdet $-1$.

På samma sätt, vad händer om vektorn ligger i planet? Ändras den överhuvudtaget?

Poängen är att i det här fallet behöver du inte göra några beräkningar, eftersom det är en väldigt speciell avbildning, nämligen en spegling.

Så du behöver bara fundera på speglingens geometriska egenskaper.

En spegling i ett plan inverterar planets normal, så (1,1,2) är en egenvektor med egenvärde -1.

En spegling i ett plan fixerar vektorer i planet, så vektorer i planet är egenvektorer med egenvärde 1. Välj vilka två vektorer i planet som helst, alla linjärkombos av dem är egenvektorer med egenvärde 1.

Om du verkligen vill beräkna borde du kunna göra det precis som övriga exempel i boken på hur man tar fram egenvärden och egenvektorer. Skillnaden är då gissningsvis att du då får avbildningen i matrisform, här behöver du bestämma matrisen utifrån den geometriska beskrivningen av avbildningen.