Eulers tal

Nej, funktionen ex är unik på det sättet (i alla fall kommer jag inte på någon mer). Däremot finns det (ganska vanliga) funktioner som "kommer tillbaka" och blir sig själva efter 4 deriveringar.

Om du vill att

$f'(x)=f(x)$

för alla reella x så är

$f(x)=Ce^x$

där C är en konstant. 

Det finns inga andra sådana funktioner. 

Smaragdalena skrev:

Nej, funktionen ex är unik på det sättet (i alla fall kommer jag inte på någon mer). Däremot finns det (ganska vanliga) funktioner som "kommer tillbaka" och blir sig själva efter 4 deriveringar.

Jaha, du nämner efter att man deriverat 4 gånger. Finns det något namn för hela den operationen, dvs att den kommer tillbaka till sin ursprungsfunktion, eller är det liksom bara ett exempel?

Dr. G skrev:

Om du vill att

$f'(x)=f(x)$

för alla reella x så är

$f(x)=Ce^x$

där C är en konstant. 

Det finns inga andra sådana funktioner. 

Men låt oss säga att vi väljer en annan typ av funktion som inte är en exponentialfunktion. Du påstår alltså att det inte finns NÅGON ANNAN känd funktion där detta även kan gälla? 

villsovaa skrev:

Men låt oss säga att vi väljer en annan typ av funktion som inte är en exponentialfunktion. Du påstår alltså att det inte finns NÅGON ANNAN känd funktion där detta även kan gälla? 

Jag påstår att en funktion som uppfyller

$f'(x)=f(x)$

för alla reella x är en exponentialfunktion med e som bas. 

Jag tror att du kan byta ut "för alla reella x" ovan mot "på ett intervall" och att påståendet ändå gäller. 

$f(x)=0$

Fast detta exempel inkluderas ju ifall man sätter $C=0$.

Teraeagle skrev:

$f(x)=0$

Fast detta exempel inkluderas ju ifall man sätter $C=0$.

Nu förstår jag inte riktigt vad du antyder?

$f(x)=0$ uppfyller också f(x)=f’(x), men den lösningen är inkluderad om man skriver $f(x)=Ce^x$ och sätter C=0. 

Teraeagle skrev:

$f(x)=0$ uppfyller också f(x)=f’(x), men den lösningen är inkluderad om man skriver $f(x)=Ce^x$ och sätter C=0. 

Jahaa, ja juste. Tänkte inte ens på det!

Det som slog mig mest en gång i tiden var nog den primitiva funktion för $f\left(x\right)=x^n$

Vilket är $F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ för alla $n\ne -1$,

Men för $n=-1$ så blir plötsligt $F\left(x\right)=\ln \left(x\right)$+C

Och än en gång hoppar talet e fram som gubben i lådan.

(Eller omvänt, att $\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)$ blir just $\frac{1}{x}$, och ingenting annat)

Fast jag undrar om inte Eulers formel förundrar snäppet mer, då den knyter ihop talen $e$, $\mathrm{\pi }$ och $i$, på ett otroligt sätt.

$e^{i\theta }=\cos \theta +i·\sin \theta$

och hur användbart sedan detta sammanhang blir i olika fysikaliska sammanhang.

JohanF skrev:

Fast jag undrar om inte Eulers formel förundrar snäppet mer, då den knyter ihop talen $e$, $\mathrm{\pi }$ och $i$, på ett otroligt sätt.

$e^{i\theta }=\cos \theta +i·\sin \theta$

och hur användbart sedan detta sammanhang blir i olika fysikaliska sammanhang.

Jaha så det finns ett samband med irrationella tal också? Det visste jag inte!