Eulers Stegmetod

Villkoret ger dig att y' = 2 då x = 1. Vad är då en approximation till y(2)?

Eulers stegmetod

Eulers stegmetod går ut på att du vet en punkt, beräknar riktningskoefficienten i denna punkt, tar ett steg i den riktningen, beräknar riktningskoeffocienten i den nya punkten, tar ett steg i denna riktning och så vidare.

Nu skall du börja i punkten (1,2). Eftersom y'=y/x, d v s 2/1 är riktningskoefficienten 2. Om man går ett steg med riktningen 2 från punkten (1,2) hamnar man i punkten (2,4).

Nu är du i punkten (2,4). Riktningskoefficienten är 4/2=2. Om man går ett steg med riktningen 2 från punkten (2,4) hamnar man i punkten (3,6). 

Tar du sista steget själv?

JAHAA,  6/3=2 så hamnar man i punkten (4, 8) 

men om det dyker upp en fråga med steglängden 2 gör man då såhär: 

(y/x) dvs 2/1, k värdet = 2 

och när jag tar ett steg så hamnar jag på 2,6? 

Nej, steglängden är hur stort steg du tar i x-riktningen.

om du har tid, skulle du kunna ge någon exempel när steglängden är 2?

Du kan ditt exempel och ändra steglängden till två.

Så vi börjar på x = 1, y = 2. Derivatan är 2/1 = 2. Sen tar du två steg i x-led. Ett steg => (2, 4), två steg => (3, 6). 

Ok så lite otur att vi kom till samma punkt (det beror på att derivatan i (2,4) också är 2).

Vi kan ta ett annat exempel, där y' = y*x.

Om vi igen börjar i (1,2) och y' = 2. Så om vi har steglängd 1 så blir nästa punkt (2, 4) och sedan nästa (3, 12). Om vi stället har steglängd 2 blir nästa punkt (3, 6). 

Kontrollera så att jag räknat rätt :)

Hej J. O.,

Jag använder steglängden 3.

Steg 0. Här är $x=1$ och $y(1)=2$. Det ger derivatan

    $y'(1) = \frac{y(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y) = (1,2)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y = 2+2(x-1)$.

Denna ekvation ska du använda i Steg 1.

Steg 1. Här är $x=4$. Linjens ekvation från Steg 0 ger y-värdet $y=2+2\cdot (4-1) = 8.$ Det ger derivatan

    $y'(4) = \frac{8}{4} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y)=(4,8)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y = 8+2(x-4).$

Denna ekvation ska du använda i Steg 2.

Steg 2. Här är $x=7$. Linjens ekvation från Steg 1 ger y-värdet $y=8+2\cdot(7-4) = 14.$ Det ger derivatan

    $y'(7) = \frac{14}{7} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y) = (7,14)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y=14+2(x-7).$

Denna ekvation ska du använda i Steg 3.

Steg 3. Här är $x=10$. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

Det verkar som att Eulers metod hela tiden rör sig längs samma räta linje, den linje vars ekvation är $y=2x$.

Om man löser differentialekvationen

    $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$

får man att

    $\ln |y| = \ln |x| + \ln C$

där konstanten $C$ bestäms av startvillkoret $y(1) = 2$. Om vi bara tillåter positiva x och y så ger logaritmlag sambandet $y=Cx$, där startvillkoret ger $C=2$. 

Eulers stegmetod sammanfaller i detta fall med den exakta lösningen till differentialekvationen. 

Albiki skrev:

Hej J. O.,

Jag använder steglängden 3.

Steg 0. Här är $x=1$ och $y(1)=2$. Det ger derivatan

    $y'(1) = \frac{y(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y) = (1,2)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y = 2+2(x-1)$.

Denna ekvation ska du använda i Steg 1.

Steg 1. Här är $x=4$. Linjens ekvation från Steg 0 ger y-värdet $y=2+2\cdot (4-1) = 8.$ Det ger derivatan

    $y'(4) = \frac{8}{4} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y)=(4,8)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y = 8+2(x-4).$

Denna ekvation ska du använda i Steg 2.

Steg 2. Här är $x=7$. Linjens ekvation från Steg 1 ger y-värdet $y=8+2\cdot(7-4) = 14.$ Det ger derivatan

    $y'(7) = \frac{14}{7} = 2.$

Du har nu en rät linje som går genom punkten $(x,y) = (7,14)$ och har lutningen 2, vilket ger linjens ekvation

    $y=14+2(x-7).$

Denna ekvation ska du använda i Steg 3.

Steg 3. Här är $x=10$. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

så när x =10 och ekvationen i steg 2 ger y värdet = 14+2(10-7)=20. Det ger derivatan y'(10)=20/10 =2. Linjens ekvation blir alltså y=20+2(x-10) ??

Jezusoyedan skrev:

Albiki skrev:

Hej J. O.,

[...]

Steg 3. Här är $x=10$. Linjens ekvation från Steg 2 ger y-värdet ... 

så när x =10 och ekvationen i steg 2 ger y värdet = 14+2(10-7)=20. Det ger derivatan y'(10)=20/10 =2. Linjens ekvation blir alltså y=20+2(x-10) ??

Ja det stämmer!