Eulers stegmetod (Matematik/Matte 5/Differentialekvationer)

h(x,y) är en funktion av två variabler som måste ges från sammahanget.

Funktioner kan ha två variabler.

Exempel på en funktion av två variabler är relationen mellan en rektangels area A och dess bredd b och höjd h där denna relation beskrivs av funktionen A(b,h) = bh.

Du verkar ha missat vad h(x,y) betyder i sammanhanget så det första du behöver göra är att gå tilllbaka och reda ut varifrån denna funktion kom i sammanhanget.

SeriousCephalopod skrev:
h(x,y) är en funktion av två variabler som måste ges från sammahanget.
Funktioner kan ha två variabler.
Exempel på en funktion av två variabler är relationen mellan en rektangels area A och dess bredd b och höjd h där denna relation beskrivs av funktionen A(b,h) = bh.
Du verkar ha missat vad h(x,y) betyder i sammanhanget så det första du behöver göra är att gå tilllbaka och reda ut varifrån denna funktion kom i sammanhanget.

är deet inte lutningen alltså derivstan?

Det är en term som är proportionell mot lutningen men bör inte vara faktiska lutningen, men jag misstänker också att du skrivit av formeln fel så antingen är det icke-typisk notation som du behöver förklara eller så är det ett skrivfel som avlöses av att gå tillbaka och läsa definitionen.

SeriousCephalopod skrev:
Det är en term som är proportionell mot lutningen men bör inte vara faktiska lutningen, men jag misstänker också att du skrivit av formeln fel så antingen är det icke-typisk notation som du behöver förklara eller så är det ett skrivfel som avlöses av att gå tillbaka och läsa definitionen.

kollat på några videor nu på youtube. Det jag inte förstår är varför y'(x0) ska multipliceras med lutningen?

Jag gissar att du menar:

$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n})$

där h kan sägas representera steglängden:

$h = x_{n + 1} - x_{n}$

$y = f (x, y (x))$

$y ´ = \lim_{h \to 0} \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{h}$

Affe Jkpg skrev:
Jag gissar att du menar:
$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n})$
där h kan sägas representera steglängden:
$h = x_{n + 1} - x_{n}$
$y = f (x, y (x))$
$y ´ = \lim_{h \to 0} \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{h}$

det jag undra är varför h multipliceras med f(xn,yn)? är det för att det är förändringen i yled?

danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
Jag gissar att du menar:
$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n})$
där h kan sägas representera steglängden:
$h = x_{n + 1} - x_{n}$
$y = f (x, y (x))$
$y ´ = \lim_{h \to 0} \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{h}$
det jag undra är varför h multipliceras med f(xn,yn)? är det för att det är förändringen i yled?

Jag "halkade på tangentbordet"....

$y ´ = f (x, y (x))$

Förklarar dock inte varför "varför h multipliceras med f(xn,yn)"....

Tidigare skrev jag ungefär

$y ´ = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}}$

Så lägger vi till

$y ´ = f (x, y (x)) = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} f (x_{n}, y_{n})$

När det gäller Euler framåt så kan man härleda denna genom t.ex. taylorutveckling. Du har ett givet ODE-problem på formen $y' = f (t, y)$ med något begynnelsevillkor $y (t_{0}) = y_{0}$ . Taylorutveckla nu $y (t)$ kring $t_{0}$ så att $y (t_{0} + h) = y (t_{0}) + h y' (t_{0}) + O (h^{2})$ , där h är vår steglängd. Med Euler framåt så ignorerar vi alla kvadrattermer och de av högre ordning av $h$ , dvs vi gör en lokal linjarisering så att $y (t_{0} + h) \approx y (t_{0}) + h y' (t_{0})$ . Eftersom vårt ODE-problem är på formen $y' = f (t, y)$ så fås direkt att $y (t_{0} + h) \approx y (t_{0}) + h f (t, y)$ . Alltså fås på diskret form vår approximationsalgoritm för varje steg som $y_{k + 1} = y_{k} + h f (t_{k}, y_{k})$ .

(Euler bakåt visas på samma sätt fast vi får istället taylorutvecklingen $y (t_{0} - h) = . . .$ etc)

Med samma metod kan man härleda bättre numeriska metoder för lösning av ODE:er genom att t.ex. även ta med kvadrattermer i taylorutvecklingen. Då erhålls sk. Runge-Kutta-metoder (genom att approximera de högre derivatorna med lite listiga ansättningar), vilket Euler fram/bak är ett specialfall utav.

Förstår tyävrr fortfarande inte riktigt varför det ska multipliceras med för att få y-värdet., ska läsa igenom några gånger och försöka se om det blir klarar e i min hjärna

danielladd skrev:
Förstår tyävrr fortfarande inte riktigt varför det ska multipliceras med för att få y-värdet., ska läsa igenom några gånger och försöka se om det blir klarar e i min hjärna

$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} = y_{n} + (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} - y_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}} = f (x_{n}, y_{n}) y' = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} (\frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}}) y' = f (x, y (x)) = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} f (x_{n}, y_{n})$

Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Förstår tyävrr fortfarande inte riktigt varför det ska multipliceras med för att få y-värdet., ska läsa igenom några gånger och försöka se om det blir klarar e i min hjärna
$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} = y_{n} + (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} - y_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}} = f (x_{n}, y_{n}) y' = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} (\frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}}) y' = f (x, y (x)) = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} f (x_{n}, y_{n})$

ok, men varför kan vi inte bara ta y-värdet i punkten innan adderat med antal steg, då fås ju nya y-värdet?

danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Förstår tyävrr fortfarande inte riktigt varför det ska multipliceras med för att få y-värdet., ska läsa igenom några gånger och försöka se om det blir klarar e i min hjärna
$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} = y_{n} + (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} - y_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}} = f (x_{n}, y_{n}) y' = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} (\frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}}) y' = f (x, y (x)) = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} f (x_{n}, y_{n})$
ok, men varför kan vi inte bara ta y-värdet i punkten innan adderat med antal steg, då fås ju nya y-värdet?

Du jämföra med och hitta skillnader och likheter med:

$y = k x + m$

Då kan du (med viss "varsamhet") jämföra:

$y : y_{n + 1} k : f (x_{n}, y_{n}) x : h m : y_{n}$

Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Affe Jkpg skrev:
danielladd skrev:
Förstår tyävrr fortfarande inte riktigt varför det ska multipliceras med för att få y-värdet., ska läsa igenom några gånger och försöka se om det blir klarar e i min hjärna
$y_{n + 1} = y_{n} + h * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} = y_{n} + (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) y_{n + 1} - y_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) * f (x_{n}, y_{n}) \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}} = f (x_{n}, y_{n}) y' = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} (\frac{y_{n + 1} - y_{n}}{x_{n + 1} - x_{n}}) y' = f (x, y (x)) = \lim_{x_{n + 1} \to x_{n}} f (x_{n}, y_{n})$
ok, men varför kan vi inte bara ta y-värdet i punkten innan adderat med antal steg, då fås ju nya y-värdet?
Du jämföra med och hitta skillnader och likheter med:
$y = k x + m$
Då kan du (med viss "varsamhet") jämföra:
$y : y_{n + 1} k : f (x_{n}, y_{n}) x : h m : y_{n}$

jaha, då förstår jag! tack!:)