Eulers stegmetod??

Hej!

Vad exakt är det i Eulers stegmetod som du inte förstår?

Det är ett enormt slöseri med vår tid om vi skriver långa inlägg som du sedan avfärdar med

"Jag förstår inte!!! :("

"Kan ni förklara bättre? :("

eller något liknande.

Alltså problemet ligger i att jag tror att jag kan det, men jag klarar ändå inte av att göra ett exempel på egen hand eftersom jag lätt glömmer vad och varför man ska göra något. Jag vill att man tar gärna ett exempel och förklarar hur man ska göra med text, men det kanske är för mycket begärt. Jag ska kika flera videor för att kolla om jag förstår något, så ni inte skriver långa inlägg och slösar tid. 

Hej!

Använd Eulers framåtmetod för att approximera lösningen till differentialekvationen

    $y'(x) + y(x) = 1$ på intervallet $0 < x < 1$

där du använder den konstanta steglängden $0.2.$

1. Dela in x-intervallet i fem stycken lika långa delintervall: $0 < 0.2 < 0.4 < 0.6 < 0.8 < 1.0$
2. Du vill bestämma approximativa värden till de fem funktionsvärdena $y(0.2)$, $y(0.4)$, $y(0.6)$, $y(0.8)$ och $y(1.0)$.
3. Eulers stegmetod talar om för dig hur du kan bestämma en approximation till $y(0.2)$ utgående från startvärdet $y(0).$
4. Eulers stegmetod talar om för dig hur du kan bestämma en approximation till $y(0.4)$ utgående från approximationen till $y(0.2)$.
5. Eulers stegmetod talar om för dig hur du kan bestämma en approximation till $y(0.6)$ utgående från approximationen till $y(0.4)$.
6. Eulers stegmetod talar om för dig hur du kan bestämma en approximation till $y(0.8)$ utgående från approximationen till $y(0.6)$.
7. Eulers stegmetod talar om för dig hur du kan bestämma en approximation till $y(1.0)$ utgående från approximationen till $y(0.8)$.

Albiki

Hej, tack Albiki för att du tar tid att besvara mig och skriva långa och kunskapsrika inlägg. 

Om vi börjar med 1.

Jag såg video som säger att att man beräknar lutningen för startpunkten först. 

Så då blir det y' + y = 1

Så om det är (0.0) då är det y'= 1-0 som ger oss att lutningen är 1.

Nu kommer det som förvirrar mig, ena videon säger att det blir lutningen + y för att hitta vart nästa y är. Då blir väl 1+0 = 1, men de säger i en annan video så använder de steglängden (??) för att hitta nästa y. 

Steglängden användes också för att ta reda på nästa x, som då blir 0.2 Det här är så jobbigt tycker jag.

Enklast är att hitta x värde, men y värde är svårt. Hoppas du hänger med på vad jag har svårt med, tack i förhand. :)

Hej!

Enligt derivatans definition gäller det att

    $y'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.$

Euler säger att gränsvärdet $y'(x)$ är ungefär lika med kvoten $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$, om steglängden ($h$) är tillräckligt liten; vi får hoppas att vår steglängd $h = 0.2$ är tillräckligt liten för att approximera vår funktion $y$. Det betyder att vi kan uttrycka funktionsvärdet $y(x+h)$ med hjälp av $y'(x)$ och funktionsvärdet $y(x).$

    $y(x+h) \approx y(x) + h \cdot y'(x).$

Differentialekvationen för funktionen $y$ säger att $y'(x) = 1 - y(x),$ så då kan du ersätta derivatan med detta.

    $y(x+h) \approx y(x) + h \cdot (1-y(x)).$

Nu kan du beräkna approximationerna!

    $y(0.2) \approx y(0) + 0.2 \cdot (1-y(0)).$

    $y(0.4) \approx y(0.2) + 0.2 \cdot (1-y(0.2)).$

...

Albiki

Nu förstår jag så mycket bättre, med dessa formler och förklaringar. Jag har en liten fundering, "steglängden är tillräckligt liten för att approximera vår funktion", kan steglängden t.ex. vara 1, 2 och större än så? Finns det nåt "maxvärde"?

Säg att startvärdet är $y(0) = 0.$ Då blir

    $y(0.2) \approx 0.2$, vilket ger $y(0.4) \approx 0.2+0.2\cdot(1-0.2) = 0.36$.

Detta ger i sin tur

    $y(0.6) \approx 0.36 + 0.2\cdot(1-0.36) = 0.488$ och $y(0.8) \approx 0.488+0.2\cdot(1-0.488) = 0.5904$

för att slutligen ge $y(1.0) \approx 0.5904+0.2\cdot(1-0.5904) = 0.67232.$

Jämför dessa approximationer med funktionsvärdena för den exakta lösningen $y(x) = 1-e^{-x}.$

• $y(0) = 1-e^{-0} = 0$ (0)
• $y(0.2) = 1-e^{-0.2} = 0.18127...$ approximeras av $0.2$.
• $y(0.4)=1-e^{-0.4} = 0.32968...$ approximeras av $0.36$.
• $y(0.6)=1-e^{-0.6}=0.45119...$ approximeras av $0.488$.
• $y(0.8)=1-e^{-0.8}=0.55067...$ approximeras av $0.5904$.
• $y(1.0)=1-e^{-1}=0.63212...$ approximeras av $0.67232$.

Vill man ha bättre approximationer med denna variant av Eulers metod måste man välja en kortare steglängd än $h = 0.2.$.

Albiki

Hur ska man tänka när man ska välja en steglängd tycker du? :)

Jag tycker steglängd 0.5 funkar också för denna funktion..