Eulers metod för högre ordning

Hejsan jag har följande problem;

Kan lösa första ordningen (y') med eulers metod då man har
yn+1= yn + h*f(xn,yn)
x+1= xn+h

Men när jag kommer till problem med andra ordningen (y'') så har jag sett via youtube klipp att man kan förenkla till första ordningen genom följande;

u1= y
u2= y'
u3= y''

så att;
u1'= u2
u2'= u3

vilket ger;
u2'= x-u1

Jag har lite fattat att man ska anta att u2'= f(x, u1, u1'), men hur kan jag räkna ut u2'= f(x, u1, u1')?

Lösningen är enklare än du tror:

u₂' = f(x, u₁, u₁') = x - u₁

------------

Jag skulle ha använt Eulers metod utan ersättning, så här:

y_n+1 = y_n + h*y_n'

y_n+1' = y_n' + h*y_n'' = y_n' + h*(x - y_n)

Med uppgiftens data:

y₀ = y(0) = 1

y₀' = y'(0) = 0,1

y₀'' = x - y₀ = 0 - 1 = -1

y₁ = y(0,5) = y₀ + h*y₀' = 1 + 0,5*0,1 = 1,05

y₁'= y'(0,5) = y₀' + h*y₀'' = 0,1 + 0,5*-1 = -0,4

y₁'' = y''(0,5) = x - y₁ = 0,5 - 1,05 = -0,55

osv.

Men enligt uppgiften behöver du beräkna bara ett steg. I så fall behöver Eulers metod bara y₀ och y₀', men inga y'' värden alls.

Svara