Eulers generalisering för fermat's theorem.

Hej!

Det står i beviset att $y_i = ax_i + k_in$ där $k_i$ är ett heltal (notera att detta är en likhet); detta är innebörden i kongruensen $y_i \equiv ax_1\, (\text{ mod }n)$.

Uttryckt i klartext: Heltalet $y_i$ är resten som du får då du delar heltalet $ax_i$ med heltalet $n$.

Notera att det råder likhet

    $\prod x_i = \prod y_i$

men att det råder kongruens modulo $n$

    $\prod y_i \equiv a^{m}\cdot \prod x_i.$

Detta medför att det råder kongruens modulo $n$

    $(a^m-1) \cdot \prod x_i \equiv 0$

vilket betyder att

1. antingen är $\prod x_i$ delbart med $n$ eller
2. så är $a^m-1$ delbart med $n.$

Du vet att $\prod x_i$ inte är delbart med $n$ eftersom inget av heltalen $x_i$ är delbart med $n.$ Därför måste det vara så att $a^m-1$ är delbart med $n$, vilket är vad som skulle visas.