Eulers formula är en bluff :-)

Du glömmer i framför sin(x), anledningen det gäller för x=0 är för att detta misstag försvinner då sin(0)=0.

Jag tror inte riktigt jag förstår ditt svar. Ekvationen är känd som den vackraste ekvationen och ska fungera för alla tal mellan 0 och 2pi.  Min poäng är detta endast stämmer teoretiskt inte praktiskt. 

Med tylorors formula kan man vissa att det stämmer teoretskt för alla x. Då även x=π/4 som jag använt här.

Eulers formel är

$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$

För $\varphi=\frac{\pi}{4}$ får vi

$e^{i \pi/4}=\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

Där talet $i$ är $\sqrt{-1}$

Absolut så ser jag din härledning och det är den jag gjort i olika examinationer.

Men min fråga är e^π/4 = 

2,19328005073 och inte √2/2(1+i)

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Som tidigare sagt, du missar den imaginära enheten $i$ i din formel.

Det stämmer alltså att $e^{\frac{\pi}{4}}\approx 2,19$. Detta är inte ett komplext tal.

Däremot är $e^{i\frac{\pi}{4}}$ ett komplext tal som är lika med $\cos(\frac{\pi}{4})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$.

Det är därför jag bröt ut reall delen orgonal frågan. 

(e^(π/4)+e^(-π/4))/2 =1,32460908925

Vilket är real delen detta är ej √2/2 din reall del.

Skrev fel din reall del är 1/√2 vilket är 0,70710678118.

I original frågan finns länken till härledningen.

De två talen $\pi/4$ och $i\pi/4$ är två helt skilda tal.

Talet 1.324609... är inte realdelen till något tal vi pratat om i tråden.

Eulers formel talar om vad som händer när vi sätter in ett rent imaginärt tal som argument till exponentialfunktionen.

Vill du utöka Eulers formel till det komplexa talet $a+bi$ kan använda en enkel potenslag så här:

$e^{a+bi}=e^a \cdot e^{ib}=e^{a}(\cos(b)+i\sin(b))$

Med $b=0$, dvs ett rent reellt tal, återfår du $e^a$

Jag tror inte jag förstår dig dig! Det är detta jag talat om hela tiden att praktik och teori inte stämmer. Reall del är ett reallt tal.

Ditt exempel har inte med Eulers formel att göra.

Eulers formel handlar om imaginära tal.

Är du med på det?

Du gör ungefär samma fel som han som åkte tåg och hamnade i Sala i stället för Uppsala. Han såg inte upp. Du, å andra sidan, måste ta i. 

E är inte e i det komplextal planet?

Alla förklaringar jag fått så ska det vara samma e? 

Härledningen brukar göras Taylors formel och när man lägger ihop dessa två så får man e. 

Jag förstår inte vad du menar och vad det är du påstår.

Kan du beskriva det lite tydligare, så blir det lättare för oss att svara?

Börja om från början.

Jag är helt med på att vi talar om det komplexa tal planet. Är du med på att jag vill ha en numerisk lösning?

kotten123 skrev:

Jag är helt med på att vi talar om det komplexa tal planet. Är du med på att jag vill ha en numerisk lösning?

Numerisk lösning av vad?

Nej, jag förstår inte alls vad du är ute efter.

Kan du förklara det lite tydligare?

Börja gärna om från början

Två saker:

• Detta stämmer inte. e^x=sinx+cosx gäller för vissa nollskilda negativa x.

kotten123 skrev:

Jag har på flera prov bevisat e^(0)= cos(0) + sin(0). Problemet är att den inte stämmer för något tal skilt från 0. 

• e^x=sinx+cosx ÄR INTE EULERS FORMEL

Okej ska försöka förklara tydligare. 

Eulers formula är:

e^(ri)=cos(ri) + i sin(ri)

Där e är e som (1 + 1/n)^n .

Om vi följer matematiska räkneregler så ska höger om likameds täcket vara samma som vänstersidan.

 a=b -> a-b=0 detta betyder att e^(ri) - ( Cos(ri) + isin(ri))=0

Eftersom Euler talar om det komplexatal planet så bryter jag ut cos.

COS(ri) = (e^(ri) + e^(-ri))/2 

Här under finns en länk till wikisidan angående cosinus. På mitten finns formeln hör ovan.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Cosinus

Vilket betyder att cosinus endast är på det realla talplanet och borde därför föla vanliga räkneregler. 

Om vi gör det hela teoretskt som flera gjort ovan så stämmer det. Men slår man in det på en dator, miniräknare så stämmer det inte.

Med antagandet samma räkneregler gäller i det komplexaplanet som det realla. Min gäller inte Moivres formel som någon här ovan blandat ihop med Euler formel. Där används z och inte för att skriva uttrycket.

Vänligen 

kotten123

 $e^{ir}=\cos \left(r\right) + i\sin \left(r\right) \ne \cos \left(ir\right) + i\sin \left(ir\right).$

kotten123 skrev:

Okej ska försöka förklara tydligare. 

Eulers formula är:

e^(ri)=cos(ri) + i sin(ri)

Nej, Eulers formel med dina beteckningar är

$e^{ri}=\cos(r)+i\sin(r)$

Ser du skillnaden? Den är viktig.

 Men slår man in det på en dator, miniräknare så stämmer det inte.

Kan du ge ett väldigt tydligt exempel där du anser att Eulers formel inte stämmer?

kotten123 skrev:

Okej ska försöka förklara tydligare. 

Eulers formula är:

e^(ri)=cos(ri) + i sin(ri)

Nej det stämmer inte. Eulers formel är e^(ri) = cos(r) + i*sin(r).

Där e är e som (1 + 1/n)^n .

Om vi följer matematiska räkneregler så ska höger om likameds täcket vara samma som vänstersidan.

 a=b -> a-b=0 detta betyder att e^(ri) - ( Cos(ri) + isin(ri))=0

Samma här, det ska vara e^(ri) - (cos(r) + i*sin(r)) = 0, vilket är samma sak som e^(ri) - cos(r) - i*sin(r) = 0

Eftersom Euler talar om det komplexatal planet så bryter jag ut cos.

COS(ri) = (e^(ri) + e^(-ri))/2 

Jag vet inte vad du menar med att du "bryter ut" cos, men visst, om du vill kan du skriva om cos(r) = (e^(ri) + e^(-ri))/2, vilket är samma sak som cos(r) = e^(ri)/2 + e^(-ri)/2.

Om du då ersätter cos(r) med det så blir sambandet

e^(ri) - e^(ri)/2 - e^(-ri)/2 - i*sin(r) = 0 

Detta kan du skriva om så att det blir

e^(ri)/2 - e^(-ri)/2 - i*sin(r) = 0

Var det så du menade?

Här under finns en länk till wikisidan angående cosinus. På mitten finns formeln hör ovan.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Cosinus

Vilket betyder att cosinus endast är på det realla talplanet och borde därför föla vanliga räkneregler. 

Här tappar jag bort dig helt.

Vad menar du med att cosinus "endast är på det reella talplanet"?

Kan du fortsätta den uträkning jag har rättat åt dig ovan så att det tydligt framgår vad du menar?

Om vi gör det hela teoretskt som flera gjort ovan så stämmer det. Men slår man in det på en dator, miniräknare så stämmer det inte.

Vad exakt är det som inte "stämmer" om man slår in det på en dator eller miniräknare?

Med antagandet samma räkneregler gäller i det komplexaplanet som det realla. Min gäller inte Moivres formel som någon här ovan blandat ihop med Euler formel. Där används z och inte för att skriva uttrycket.

Jag ser inte att någon har nämnt de Moivres formel här alls.

Vänligen 

Kotten

Känns lite som det här går i cirklar mitt första inlägg.

e^(i*pi/2) = COS(pi/2) + i sin(pi/2) 

e^(i*pi/2) = 0 + i sin(pi/2) 

i 4,81047738096 är inte lika med i.

Gjorda på minlräknare

kotten123 skrev:

Känns lite som det här går i cirklar mitt första inlägg.

e^(i*pi/2) = COS(pi/2) + i sin(pi/2) 

e^(i*pi/2) = 0 + i sin(pi/2) 

i 4,81047738096 är inte lika med i.

Gjorda på minlräknare

Det är inte ditt första inlägg, men OK.

Felet du gör här är att du blandar ihop $e^{i\frac{\pi}{2}}$ och $e^{\frac{\pi}{2}}$.

Du slår in $e^{\frac{\pi}{2}}$ på miniräknaren, men det är alltså inte samma sak som $e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Ytterligare en:

e^(i*pi) = COS(pi) + i sin(pi) -> e^(i*pi) = COS(pi) -> e^(i*pi) != 23,1406926327

COS(pi) = -1

Jag kan inte se någon relation e i Eulers och hur det används annars. 

Hade formeln skrivits vad som helst som inte är e så hade jag aldrig startat tråden. Men nu är den skriven med e!

kotten123 skrev:

Ytterligare en:

 

e^(i*pi) = COS(pi) + i sin(pi) -> e^(i*pi) = COS(pi) -> e^(i*pi) != 23,1406926327

COS(pi) = -1

Ja här har du skrivit helt rätt.

Det gäller att e^(i*pi) är lika med -1 och inte 23,14069. 

Däremot gäller att e^(pi) är (ungefär) lika med 23,14069.

============================

Ser du vad du gör för fel?

Du kan alltså inte skriva in "e upphöjt till pi" på miniräknaren och förvänta dig att den ska förstå att du vill veta värdet av "e upphöjt till (i gånger pi)".

23 är inte -1 inte änns i den vildaste fantasi. Omkretsen av enhetscirkeln är inte närheten av 23. 

Vi gör ett tanke experiment e^(i×pi)^2 -> e^(-pi*pi) -> -1 

23 är ungefär -1?

kotten123 skrev:

23 är inte -1 inte änns i den vildaste fantasi. Omkretsen av enhetscirkeln är inte närheten av 23. 

...

Nej det stämmer. Ingen har heller sagt att det är så.

Här är två raka frågor till dig:

1. Ser du att det är skillnad på de båda talen e^(pi) och e^(i*pi)?
2. Är det så att du tror att realdelen av e^(iv) är lika med e^v?

Absolut så ser jag skillnaden och det är därför jag kvaderade talet. Då blir i^2= -1. Den här delen är vi överens om eller hur?

e^(i*pi)^2 vi tar exponenten först vilket blir e^(i*i)*(pi^2) från ovan byter vi ut i *i= -1 och får pi^2. Är vi överens om hanteringen av exponenten? 

e^(pi*pi*-1) bevis genom motsägelse!

Det är skillnad på:

$e^{(i\pi)^2}$ och $(e^{i\pi})^2$.

Det är två olika tal.

Okej förklara

kotten123 skrev:

Okej förklara

$e^{(i\pi)^2}=e^{-\pi^2}\ne (e^{i\pi})^2=$

$e^{i\pi}\cdot e^{i\pi}=e^{2\pi i}=$

$\cos (2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i\cdot 0=1$

I mitt exempel kunde jag visa på en motsägelse. Ditt exempel är något annat. Det jag ville visa var det uppstår en motsägelse när man mappar från C->R. 

Där 1 kan vara e^(-1 * 23^2)

Jag ser inte kopplingen mellan e och komplexa e?

Du använder på utpridda ställen begrepp som visar på högre mattebakgrund än som är rimligt att ha denna förvirring, är detta ett skämt?

Nej detta är inget skämt. Men jag har läst en var 1, 2 flervariabelsanalys, linjär algebra 1 och 2 och lite till. 

Problemet är när du ställer frågor universitet så får du minus poäng i betygen. Sammanfattningsvis kan man säga att det kritiska tänkandet är gjort åt dig. 

Så rätta svaret på provet för att få A är det Tom80 skriver. Det är så jag skriver på prov. 

Varje kurs som jag skrivit rätt men inte förstått har lagt sig på lager tills jag slutade med matte. 

Vill man ha A ska man inte säga eller låtsas om som man inte förstår. Därav är jag här och försöker förstå grunder som jag memoriserat och fått A på!

"Kritiskt tänkande" i vanlig benämning är inte särskilt centralt i matte eller i lärandet av matte lika mycket som solid förståelse. På universitetet vet väl lärarna knappt vilka ni är? Hur ska du få minus för att fråga frågor?

I en- och flervariabelanalys och linjär algebra (med reella vektorrum) har man ingen användning av Eulers identitet heller så jag förstår inte när du säger att du användt det på prov.

Vill man ha A ska man inte säga eller låtsas om som man inte förstår.

Jo, det är exakt det man ska om man vill ha A. Att du tror som du tror är ett misslyckande från din skolas sida. Bra då att du har hittat pluggakuten.

Men den här frågan anser jag är tillräckligt enkel för att du ska kunna reda ut den själv, jag är väldigt förvirrad över vad du är förvirrad över. Vet du hur man kan härleda denna likhet?

kotten123 skrev:

Känns lite som det här går i cirklar mitt första inlägg.

e^(i*pi/2) = COS(pi/2) + i sin(pi/2) 

e^(i*pi/2) = 0 + i sin(pi/2) 

i 4,81047738096 är inte lika med i.

Gjorda på minlräknare

Härifrån får jag en känsla av att du tror  $e^{i \theta} = i \cdot e^{\theta}$, men det stämmer ju inte! Man får inte bara flytta ner en exponent hur som helst. Det du snarare har visat är just att $e^{i \frac{\pi}{2}} = 0+i \cdot 1 = i$. 

I tidserieanalys, differentialekvationer, Fourieanalys och på  grund nivå som till exempel första kursen i algebra så används det. Det är sant att på grund nivå så är man bara den där anonyma dryga killen som efter efter längden på denna tråd fortfarande inte förstått och hindrar läraren från att gå vidare. 

Men sen börjar lärarna att fråga efter inlämningsuppgifter och då är man definitivt inte anonym. På Stockholms på Analys 1 och 2 så har du personlig redovisning för lärarna om du klarar provet.

Jag är fullt medveten om att frågan anses enkel.

Men jag förstår ändå inte:-)

Varför får man inte gör e^(i*pi)^2 Svaret ska bli ett för att det inte ska bli en motsägelse!

e^(i*pi) = -1

e^(i*pi)^2 = -1^(1)^2

e^(-1)*pi^2 = -1^1 = -1

dessa är ej lika!

men om e^i*pi är ett begrepp och inte e som (1 + 1/n)^n så förändras allt. Men då förstår jag inte vad värdet är av Eulers formula eftersom den redan finns och heter Moivres formula.

Med cos(ri) får jag göra dessa operationer. cos^2(ri^2) Helt lagliga

kotten123 skrev:

I tidserieanalys, differentialekvationer, Fourieanalys och på  grund nivå som till exempel första kursen i algebra så används det. Det är sant att på grund nivå så är man bara den där anonyma dryga killen som efter efter längden på denna tråd fortfarande inte förstått och hindrar läraren från att gå vidare. 

Men sen börjar lärarna att fråga efter inlämningsuppgifter och då är man definitivt inte anonym. På Stockholms på Analys 1 och 2 så har du personlig redovisning för lärarna om du klarar provet.

Jag är fullt medveten om att frågan anses enkel.

Men jag förstår ändå inte:-)

Varför får man inte gör e^(i*pi)^2 Svaret ska bli ett för att det inte ska bli en motsägelse!

e^(i*pi) = -1

e^(i*pi)^2 = -1^(1)^2

e^(-1)*pi^2 = -1^1 = -1

dessa är ej lika!

men om e^i*pi är ett begrepp och inte e som (1 + 1/n)^n så förändras allt. Men då förstår jag inte vad värdet är av Eulers formula eftersom den redan finns och heter Moivres formula.

EDIT: Det blev konstigt... whatever.

Ja jag kan vet att $x^y * x^y =x^{2y}$

Jag vet även att $e^{{\left(i\mathrm{\pi }\right)}^2}$ inte är det samma men som -1.

Men jag har inte förstått vad $e^{i\mathrm{\pi }}$för den följer inte samma räknelagar som vanlig matte!  $e^{\mathrm{i\pi }}$ är det en funktion?  Hur skiljer sig den från Moivres?  Men för att få det hela överstökat jag kan potenslagarna! Varför måste jag ha en för programmerad miniräknare för att kunna räkna !  Man kan absolut använda Moivres och sedan säga att det var Euler. men det är ett tenta svar jag förstår inte vad $e^{i\mathrm{\pi } }och kan jag ta \ln \left(e^{i\mathrm{\pi }}\right) \mathrm{blir} \det \mathrm{i\pi }? {\mathrm{e}}^{\mathrm{i\pi } } \mathrm{är} \mathrm{den} \mathrm{bara} \mathrm{för} \mathrm{att} \mathrm{kunna} \mathrm{räkna} \mathrm{vinkeln} \mathrm{men} \mathrm{har} \mathrm{ingen} \mathrm{relation} \mathrm{till} \mathrm{e}?$

Hittills är den bara en sak som man memorera. Det finns mycket lättare sätt att räkna ut vinkeln på! 

Är dessa två lika $e^{{(i \mathrm{ri})}^2} = \cos \left(r{i}^2\right) + i \sin \left({ri}^2\right)$

kotten123 skrev:

Är dessa två lika $e^{{(i \mathrm{ri})}^2} = \cos \left(r{i}^2\right) + i \sin \left({ri}^2\right)$

Vad menar du med "$i \cdot ri$"? Vad är $ri$?

$e^{{(i \beta )}^2} = \cos \left({ \beta }^2\right) + i \sin \left({ \beta }^2\right)$kanske blev otydligt med ri så $\mathit{\beta }$ är en parameter.

kotten123 skrev:

$e^{{(i \beta )}^2} = \cos \left({ \beta }^2\right) + i \sin \left({ \beta }^2\right)$kanske blev otydligt med ri så $\mathit{\beta }$ är en parameter.

Detta stämmer ej, ty:

$e^{(i\beta)^2}=e^{i^2\beta^2}=e^{-\beta^2}$

Går det att ta inversen ln( $e^{i\mathrm{\pi }}$) -> $i\mathrm{\pi }$ om $e^{i\mathrm{\pi }} = -1$ så måste  $\mathrm{i\pi } = \ln (-1)$. Stämmer detta?

kotten123 skrev:

Går det att ta inversen ln( $e^{i\mathrm{\pi }}$) -> $i\mathrm{\pi }$ om $e^{i\mathrm{\pi }} = -1$ så måste  $\mathrm{i\pi } = \ln (-1)$. Stämmer detta?

Nej, så enkelt är det inte med komplexa logaritmer. Alla komplexa tal (utom 0) har oändligt många olika komplexa logaritmer, inte bara en.

För om det stämmer och med dit svar från ovan så borde då.

$$\begin{gathered} \ln ( e^{{\left(i\mathrm{\pi }\right)}^2} ) -> {{\mathrm{i}}^2\mathrm{\pi }}^2 -> -{\mathrm{\pi }}^2 \\ Om i\mathrm{\pi } = \ln (-1) ->-{\mathrm{\pi }}^2 = {\ln (-1)}^2 \\ \mathrm{Är} \det \mathrm{så} \mathrm{här} \det \mathrm{fungerar} \mathrm{kan} \mathrm{jag} \mathrm{ta} \log \mathrm{av} \mathrm{något} \mathrm{negativt}? \end{gathered}$$

Nja egentligen inte men här borde det inte göra så mycket att ignorera problemen med det en stund.

Tror jag behöver läsa på lite om komplexa logaritmer, men Eulers formula beskriver en Riemann yta (Riemann surface) ? Det där med Komplexa logaritmer var något nytt.

Men tack för alla svar hade aldrig trott att jag skulle komma till komplexa algoritmer på en lördags kväll!

1. Har du fått svar på alla dina frågor nu? Om inte, vilka kvarstår?
2. Är det fortfarande något du tycker inte stämmer med Eulers formel? I så fall vad?
3. Är det fortfarande något du tycker utgör en motsägelse? I så fall vad?

Hej Yngve,

Tyvärr så måste jag säga att jag befinner mig exakt där jag startade. Ingen förflyttning alls åt något håll.

Inom all matematik som jag har hållit på med så har jag kunnat testa relationer teoretiskt och praktiskt. Man knappar in siffrorna på en miniräknare och får ut samma tal som det teoretiska. Numeriska lösningar blir alltid lite annorlunda på grund av  finns avrundnings fel. Detta gäller oftast men inte när man kommer till Eulers formula.

Den gör anspråk på att beskriva enhetscirkeln genom att använda $i\mathrm{\pi }$. Enhetscirkeln är en cirkel radie 1. Med i eller inget i så följer den de matematiska lagar och regler som gäller för en cirkel. Eulers formula gör anspråk på att kunna beskriva den cirkel på samma sätt som cosinus och sinus gör med eller utan i. Exempel :

$jag sätter \frac{\mathrm{\pi }}{4} in \cos inus. Vilket ger \frac{1}{\sqrt{2}}.$Där längden är pi/4 och x-axeln är 1/rotenur(2). Det funkar på alla datorer, miniräknare med eller utan i. Det följer alla räknelagar jag behöver inte hård koda min miniräknare för att få ett resultat som är korrekt. Det finns flera numeriska metoder för att få fram siffran med den precision som jag önskar utan att hård koda.

När det kommer till $e^{i\mathrm{\pi }}$ behöver man inte följa några matematiska regler. Det går inte att testa $i\mathrm{\pi }$ utan att hård koda och säga nu gäller andra regler utan i.  Sätter du in 2$\mathrm{\pi }$ i exponenten så behöver du inte få ut något som har någon som helst relation till enhetscirkeln även fast grundanspråket var just att den beskriver enhetscirkeln.  Jag har inte hittat några numeriska metoder som kan visa på en relation mellan e och enhetscirkeln om man inte hård kodar.

Det jag söker är just relationen mellan enhetscirkeln och e med eller utan i. Något som knappar in på miniräknare och får något som har någon relation till en cirkel! Det kan var radie, vinkel vad som helst men det ska ha en relation till enhetscirkeln utan hårdkodning. Det imaginära talet i är bara något man sätter framför att göra det lättare att räkna med imaginära tal.

Jag vet att Euler är typ helig inom matematiken och att det kan vara provocerande att världens vackraste formel inte stämmer. Ledsen för det men har inte sett något som kan motbevisa det.

Om du orkar läsa hela vägen hit tack för att läst så här långt!

Hur menar du att man programmerar in vad till exempel $e^{x^{}}$betyder på en miniräknare utan att "hårdkoda" det? Här är alltså x ett reellt tal.

Hårdkodning inom programmering är $e^{i\mathrm{\pi }} = -1$, inga beräkningar utförs! Låta datorn utföra en beräkning enda tills ett vist villkor är uppfyllt, till exempel antalet decimaler ska vara 2000 vad vet jag. Men när villkoret är uppfyllt så slutar datorn att utföra loopen och kan välja precision själv. Hopas det vart tydligare!

kotten123 skrev:

[Oklart]

Är du med på att det är en enhetscirkel i komplexa talplanet som kan beskrivas? Du åberopar en reell när du använder miniräknaren och gör fel när du knappar in det. 

Du har läst mycket matematik men gör väldigt enkla fel (som att blanda ihop $i \pi$ och $\pi$) vilket talar för att du vill att Eulers identitet ska vara fel.

i eller inget i enhetscirkeln är fortfarande enhetscirkeln där man låter i var y-axeln. 

Frågan är finns det någon relation mellan enhetscirkeln och e?

kotten123 skrev:

Hårdkodning inom programmering är $e^{i\mathrm{\pi }} = -1$, inga beräkningar utförs! Låta datorn utföra en beräkning enda tills ett vist villkor är uppfyllt, till exempel antalet decimaler ska vara 2000 vad vet jag. Men när villkoret är uppfyllt så slutar datorn att utföra loopen och kan välja precision själv. Hopas det vart tydligare!

 

Det svarar inte på vad jag frågade. Jag frågade hur du beräknar e^x på en dator för ett reellt tal x utan hårdkodning.

Jag kan använda en numerisk metod i en while loop. Men eftersom det inte är frågan så vill jag inte gå in i numeriska metoder för mycket.

Länkar till while loop och generell info numerisk analys.

https://sv.wikipedia.org/wiki/While

https://sv.wikipedia.org/wiki/Numerisk_analys

Frågan är finns det en relation mellan en cirkel med radie 1 och e.

Finns den relationen endast i Eulers formel?

kotten123 skrev:

Hej Yngve,

Tyvärr så måste jag säga att jag befinner mig exakt där jag startade. Ingen förflyttning alls åt något håll.

...

Nja, du har väl kommit en bit framåt iallafall?

1. I ditt första inlägg ville du ha en förklaring på varför det inte i allmänhet gäller att $e^{v}=\cos(v)+sin(v)$. Det hoppas jag att du har fått?
2. I denna kommentar undrar du varför $e^{\pi/4}$ inte är lika med $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$. Det hoppas jag att du har fått svar på?
3. I denna kommentar skriver du att $e^{ri}=\cos(ri)+i\cdot\sin(ri)$. Jag hoppas att du har fått svar på att det inte stämmer?
4. I denna kommentar verkar du undra över varför $e^{i\pi}$ inte är lika med $e^{\pi}$. Jag hoppas att du har fått svar på den frågan?
5. I denna kommentar (och några runt den) verkar det som om du tycker att det är en motsägelse att $(e^{i\pi})^2$ och $e^{(i\pi)^2}$ är två olika tal Jag hoppas att du har fått svar på varför det inte är en motsägelse?

Du får gärna svara på dessa frågor 1 - 5 så att vi kan få kvitto på att det inte fortfarande finns några oklarheter.

======================

Jag tror att de flesta frågetecken kan rätas ut om vi bara kommer ihåg att $z\in\mathbb{C}\Rightarrow e^z\in\mathbb{C}$ och att $z\in\mathbb{R}\Rightarrow e^z\in\mathbb{R}$.

Och vad gäller de numeriska beräkningarna - om du har ett elektroniskt hjälpmedel som kan hantera komplexa tal så borde du mycket väl kunna ange till exempel $e^{i\frac{\pi}{4}}$ som indata och få ut ett vettigt numeriskt värde.

kotten123 skrev:

...

Frågan är finns det en relation mellan en cirkel med radie 1 och e.

 ..

En punkt på enhetscirkeln i det komplexa talplanet kan beskrivas med hjälp av polära koordinater enligt $z=\cos(v)+i\cdot\sin(v)$.

Eulers formel ger dig sambandet $e^{iv}=\cos(v)+i\cdot\sin(v)$.

Så svaret på din fråga är ja.

Jag vill börja med att säga tack för att du följt tråden 61 inlägg för att försöka hjälpa mig att förstå relationen mellan e och en cirkel med radie 1.

Mitt största fel var att jag började frågan förutsättningen det var bara något litet som var fel och skrev inlägget från min mobil när jag var ute i skogen. Precisionen blev inte den bästa, missförstånden blev många. Det gick till och med till nivån att någon började skriva om tåg till Sala!

Jag har sedan dess kämpat hårt för att försöka precisera frågan så att den kommer tillbaks till min grund fråga!

Så om du har ett elektroniskt hjälpmedel som kan hantera komplexa tal så borde du mycket väl kunna ange till exempel eiπ4 som indata och få ut ett vettigt numeriskt värde.

Finns det en relation mellan cirkeln och e. Det är den fråga jag försökt ställa!

Jag har börjat lära mig i denna konversation hur jag minimerar möjligheten till sidospår om sådant som inte är min fråga!

Jag ska nu igen försöka ge mig ut på djupt vatten för att få frågan tydligare!

$$\begin{gathered} \sin = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(2n + 1)!} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}... \\ \cos = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{\left(2n\right)!} x^{2n} = x^0 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}... \\ e = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(x\right)}^n}{\left(n\right)!} x^{2n} = x^0 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}... \end{gathered}$$

Nu så ska e vara e= sin + cos.

Relationen mellan e och de trigonometriska funktionera ska vara tydlig och i Taylor utvecklingen så ska de bli lika.  Det är så här jag har fått enhetscirkeln förklarad för mig! Men sin + cos blir inte e!

Nu ska lite saker förändras när i kommer in i sinus Taylors utveckling. Men hur jag än har försökt vrida och vända och knappa in det på miniräknare så är inte rätt! 

Jag har nu tagit bort i*pi för att slippa ett sidospår som inte har med min fråga att göra.

Vad är relationen mellan e och cirkeln?

Yngve, ditt tålamod och lärarskap inspirerar mig mycket. Denna tråd ska jag minnas tills det blir dags för Årets pluggakutare igen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

På sektionen "Relationship to trigonometry" står det att det ska stämma med i eller utan. Detta är vad jag trodde var basen till komplexa planet.

kotten123 skrev:

...

Jag har börjat lära mig i denna konversation hur jag minimerar möjligheten till sidospår om sådant som inte är min fråga!

...

Tips till nu och i framtiden - Om du tycker att tråden spårar ur mot sådant som du egentligen inte undrar över så kan du ju alltid "stänga" tråden och istället starta om från början i en ny tråd med en mer preciserad beskrivning av  grundfrågan.

=========

Men bara för att dubbelkolla att det inte kvarstår några simpla missförstånd i det vi behandlar här - svarar du alltså "ja" på mina 5 frågor i >> detta << svar?

Jag har inte förstått alls varför man använder e för att beskriva en cirkel med radie 1. Om de inte har en relation. Alltså fråga 1. Alla andra är bara försök att finna en relation som inte finns!

Om jag förstått allt rätt så tyckte Euler att bokstaven e var vacker så använde han bockstaven e. Men den har inget med e som den matematiska e som har en tydlig definition.

Vad jag förstått nu är med $\mathrm{i\pi }$ så blir bara e en vacker bokstav, Platshållare. Iden av att någon som Euler skulle använda e som Platshållare känns konstigt. De måste ha en relation trodde jag? Den konversationen lyckades jag aldrig ledda in allt på! 

Jag tror därför inte att det blir någon skillnad om jag börjar en ny tråd. Kanske gör det när jag hittat ett sätt att förklara!

kotten123 skrev:

Jag har inte förstått alls varför man använder e för att beskriva en cirkel med radie 1. Om de inte har en relation. Alltså fråga 1. Alla andra är bara försök att finna en relation som inte finns!

...

Svara ja eller nej på frågorna så slipper jag försöka tolka (och riskera att fortsätta att misstolka) det du skriver.

Svarar du alltså ja eller nej på fråga 1? På fråga 2? På fråga 3? På fråga 4? På fråga 5?

kotten123 skrev:

Jag vill börja med att säga tack för att du följt tråden 61 inlägg för att försöka hjälpa mig att förstå relationen mellan e och en cirkel med radie 1.

Mitt största fel var att jag började frågan förutsättningen det var bara något litet som var fel och skrev inlägget från min mobil när jag var ute i skogen. Precisionen blev inte den bästa, missförstånden blev många. Det gick till och med till nivån att någon började skriva om tåg till Sala!

Jag har sedan dess kämpat hårt för att försöka precisera frågan så att den kommer tillbaks till min grund fråga!

Så om du har ett elektroniskt hjälpmedel som kan hantera komplexa tal så borde du mycket väl kunna ange till exempel eiπ4 som indata och få ut ett vettigt numeriskt värde.

Finns det en relation mellan cirkeln och e. Det är den fråga jag försökt ställa!

Jag har börjat lära mig i denna konversation hur jag minimerar möjligheten till sidospår om sådant som inte är min fråga!

Jag ska nu igen försöka ge mig ut på djupt vatten för att få frågan tydligare!

$$\begin{gathered} \sin = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(2n + 1)!} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}... \\ \cos = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{\left(2n\right)!} x^{2n} = x^0 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}... \\ e = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(x\right)}^n}{\left(n\right)!} x^{2n} = x^0 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}... \end{gathered}$$

Nu så ska e vara e= sin + cos.

Relationen mellan e och de trigonometriska funktionera ska vara tydlig och i Taylor utvecklingen så ska de bli lika.  Det är så här jag har fått enhetscirkeln förklarad för mig! Men sin + cos blir inte e!

Nu ska lite saker förändras när i kommer in i sinus Taylors utveckling. Men hur jag än har försökt vrida och vända och knappa in det på miniräknare så är inte rätt! 

Jag har nu tagit bort i*pi för att slippa ett sidospår som inte har med min fråga att göra.

Vad är relationen mellan e och cirkeln?

Jag måste faktiskt få ta dig i försvar kotten123, har följt tråden med tyst intresse för att jag vet att många här inne är otroligt mycket bättre på matematik än vad jag är, och har teorierna färskare i minne. Men jag vet hur det känns när man har tänkt länge och djupt på en sak, och man är så angelägen att få försöka förklara sin ståndpunkt att man hoppar över tankeled som inte alls är självklara för lyssnaren när tankarna poppar upp hela tiden, och det blir felskrivningar i hastigheten. Det tar jag bara som ett friskhetstecken.

Jag måste bara få fråga (det har säkert framgått av det som sagts innan, men jag frågar ändå), varför tycker du att $e^x$ borde vara lika som $\sin x+\cos x$? Du har själv skrivit taylorexpansionen av funktionerna, och de blir ju inte lika?

Jag måste bara få fråga (det har säkert framgått av det som sagts innan, men jag frågar ändå), varför tycker du att ex borde vara lika som sinx+cosx? Du har själv skrivit taylorexpansionen av funktionerna, och de blir ju inte lika?

Jag har fått det förklarat så för mig och att det inte är en slump som gör att han använder e. Men nej de blir inte lika och det är därför jag la in dem någonstans runt inlägg 60. Det ska finnas en relation definitioner som e är inget som någon som Euler slänger sig med platshållare.

Yngve fråga 1: strunta i alla andra!

Det enda du behöver acceptera är väl att man definierar ett tal i, där $i=\sqrt{-1}$, och plötsligt kommer $e^{ix}=\cos x+i·\sin x$ att stämma om man jämför taylorexpansionerna.

Johan F Om jag förstått dig rätt så blir :

$i *\sin =\sum _{n=0}^{n=\infty } \frac{{(-1)}^n}{(2n + 1)!} x{i}^{2n +1} = i + \frac{x^3}{3!} i + \frac{x^5}{5!} i+ \frac{x^7}{7!} i ...$

m

Nej. Titta på din taylorserie av sinx (börjar med x, varannan term negativ etc). multiplicera varje term med i. 

 i står framför sin, inte innuti

Nytt försök:

$$\begin{gathered} e^{ix} =\sum _{n=0}^{n=\infty }= \frac{{\left(xi\right)}^n}{n!} x^{2n} = 1 + ix + \frac{({ix)}^2}{2!} + \frac{\left(ix\right)}{3!} ... \\ i \sin \left(x\right)= \sum _{n=0}^{n=\infty }= \frac{{(-1)}^n}{(2n + 1)!}i x^{2n + 1} = xi - \frac{x^3}{3!}i + \frac{x^5}{5!}i - \frac{x^7}{7!}i ... \\ \cos \left(x\right) = \sum _{n=0}^{n=\infty }= \frac{{(-1)}^n}{\left(2n\right)!} x^{2n} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} ... \end{gathered}$$

Vilket ger i*sin(x) + cos(x) = $e^{ix}$. 

Det känns rätt, men varför kan jag då inte testa detta på en miniräknare?

Men kopplingen mellan cirkeln och e kan jag se!

Parentesen ska inte vara så stor och inget i på cos i på alla sin utan att kvadrera.

Testa att slå roten av minus ett på räknare. Det förstår den inte heller. Eftersom den inte kan det språket innan någon har lärt den språket (dvs programmerat den att förstå)

Du kan räkna med komplexa tal på vissa grafräknare, se exempel nedan:

https://edu.casio.com/support/qsg/pdf/991EX_570EX/02_CASIO_QuickStartGuide_fx-991EX_fx-570EX_COMPLEX.pdf

Absolut det förstår jag men man absolut längden borde bli den samma! Eller att plocka ut cos(x) ur e och då bara testa real delen! Det måste finnas något vettigt sätt att testa den på!

tomast80 skrev:

Du kan räkna med komplexa tal på vissa grafräknare, se exempel nedan:

https://edu.casio.com/support/qsg/pdf/991EX_570EX/02_CASIO_QuickStartGuide_fx-991EX_fx-570EX_COMPLEX.pdf

Min tanke är just att jag vill förstå utan en blackbox. Senare blir det olika program sköter allt i bakgrunden men jag vill förstå med extremt enkla medel.

kotten123 skrev:

Det känns rätt, men varför kan jag då inte testa detta på en miniräknare?

Du kan t.ex. skriva in summorna och se att det stämmer på Wolfram Alpha (länk)

kotten123 skrev:

Absolut det förstår jag men man absolut längden borde bli den samma! Eller att plocka ut cos(x) ur e och då bara testa real delen! Det måste finnas något vettigt sätt att testa den på!

Jag tror man inte riktigt kan "renodla cos-delen" på det sättet du försöker. (Vad jag misstänker att du försöker göra)

Du menar att du skulle låta x vara rent imaginärt, tex $x=-\beta i$, och därmed få:

$e^{ix}=e^{i(-\beta i)}=e^{\beta }=(reellt tal, garanterat lätt att få större än 1)=\{Eulers formula\}=\cos (-\beta i)+i\sin (-\beta i)$

dvs du blir inte så lätt av med sin-delen, istället får du en imaginär vinkel som de trigonometriska funktionerna opererar på. Inte helt självklart vad det betyder.

JohanF skrev:

kotten123 skrev:

Absolut det förstår jag men man absolut längden borde bli den samma! Eller att plocka ut cos(x) ur e och då bara testa real delen! Det måste finnas något vettigt sätt att testa den på!

Jag tror man inte riktigt kan "renodla cos-delen" på det sättet du försöker. (Vad jag misstänker att du försöker göra)

Du menar att du skulle låta x vara rent imaginärt, tex $x=-\beta i$, och därmed få:

$e^{ix}=e^{i(-\beta i)}=e^{\beta }=(reellt tal, garanterat lätt att få större än 1)=\{Eulers formula\}=\cos (-\beta i)+i\sin (-\beta i)$

dvs du blir inte så lätt av med sin-delen, istället får du en imaginär vinkel som de trigonometriska funktionerna opererar på. Inte helt självklart vad det betyder.

Det är min tanke gång absolut! Om som i alla bevis x= 0 så blir svaret 1 ->    $e^{i0} - 1 = 0$ -> absolut beloppet av $e^{i\mathrm{\pi } } = 1$ eller något som är närheten inte 23! Eftersom det finns en relation mellan e och enhets cirkeln så borde svaret liga någonstans närheten. Med konjugat, utan konjugat absolut belopp av de två blir aldrig 23! Man kan använda hjälp medel som Wolfram, komplexa miniräknare men då blir det ju lättare att bara använda cos + sin.  Jag har inget bra sätt att visa detta på som otvetydigt.     

$e^{\mathrm{\pi }}=23.14=\{Eulers formel\}=\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$

Jag har jättesvårt att relatera till någon slags visuell figur och direkt inse att uttrycket $\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$ inte skulle kunna ha amplituden 23.14, vilket isåfall skulle motbevisa Euler. 

JohanF skrev:

$e^{\mathrm{\pi }}=23.14=\{Eulers formel\}=\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$

Jag har jättesvårt att relatera till någon slags visuell figur och direkt inse att uttrycket $\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$ inte skulle kunna ha amplituden 23.14, vilket isåfall skulle motbevisa Euler. 

JohanF, jag har jättesvårt att förstå hur du kom från värdet 23,14 till HL. Kan du visa steg för steg hur du har gjort? Om jag använder Eulers formel på 23,14 får jag att det blir e^{ln23,14(cos0+isin0)}.

Smaragdalena skrev:

JohanF skrev:

$e^{\mathrm{\pi }}=23.14=\{Eulers formel\}=\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$

Jag har jättesvårt att relatera till någon slags visuell figur och direkt inse att uttrycket $\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$ inte skulle kunna ha amplituden 23.14, vilket isåfall skulle motbevisa Euler. 

JohanF, jag har jättesvårt att förstå hur du kom från värdet 23,14 till HL. Kan du visa steg för steg hru du har gjort? Om jag använder Eulers formel på 23,14 får jag att det blir e^{ln23,14(cos0+isin0)}.

Var det inte helt enkelt:

$e^{\pi}=e^{-i^2\pi}=e^{i\cdot (-i\pi)}=$

$\cos (-i\pi)+i\sin(-i\pi)$ ?

tomast80 skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

$e^{\mathrm{\pi }}=23.14=\{Eulers formel\}=\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$

Jag har jättesvårt att relatera till någon slags visuell figur och direkt inse att uttrycket $\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$ inte skulle kunna ha amplituden 23.14, vilket isåfall skulle motbevisa Euler. 

JohanF, jag har jättesvårt att förstå hur du kom från värdet 23,14 till HL. Kan du visa steg för steg hru du har gjort? Om jag använder Eulers formel på 23,14 får jag att det blir e^{ln23,14(cos0+isin0)}.

Var det inte helt enkelt:

$e^{\pi}=e^{-i^2\pi}=e^{i\cdot (-i\pi)}=$

$\cos (-i\pi)+i\sin(-i\pi)$ ?

Jo, det var så. Jag försökte visa att för att man ska få en amlitud skilld ifrån ett i HL, så måste man låta x i Eulers formel vara ett komplext tal. Varpå man får ett komplext argument till de trigonometriska funktionerna.

Om jag inte är helt ute och cyklar så är faktiskt de trigonometriska funktionerna definierade även för komplexa argument, med den definitionen följer av Eulers formel, så det blir lite cirkelresonemang. 

JohanF skrev:

tomast80 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

JohanF skrev:

$e^{\mathrm{\pi }}=23.14=\{Eulers formel\}=\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$

Jag har jättesvårt att relatera till någon slags visuell figur och direkt inse att uttrycket $\cos (-i\mathrm{\pi })+\mathrm{i}·\sin (-\mathrm{i\pi })$ inte skulle kunna ha amplituden 23.14, vilket isåfall skulle motbevisa Euler. 

JohanF, jag har jättesvårt att förstå hur du kom från värdet 23,14 till HL. Kan du visa steg för steg hru du har gjort? Om jag använder Eulers formel på 23,14 får jag att det blir e^{ln23,14(cos0+isin0)}.

Var det inte helt enkelt:

$e^{\pi}=e^{-i^2\pi}=e^{i\cdot (-i\pi)}=$

$\cos (-i\pi)+i\sin(-i\pi)$ ?

Jo, det var så. Jag försökte visa att för att man ska få en amlitud skilld ifrån ett i HL, så måste man låta x i Eulers formel vara ett komplext tal. Varpå man får ett komplext argument till de trigonometriska funktionerna.

Om jag inte är helt ute och cyklar så är faktiskt de trigonometriska funktionerna definierade även för komplexa argument, med den definitionen följer av Eulers formel, så det blir lite cirkelresonemang. 

$$\begin{gathered} e^{\mathrm{\pi }} \approx 23.14 \approx e^{-i\left(i\mathrm{\pi }\right)}\approx \cos \left(i\mathrm{\pi }\right) + \sin \left(\mathrm{i\pi }\right) \\ \mathrm{men} \mathrm{då} \mathrm{gäller} \mathrm{inte}: \\ {\cos }^2 \left(\right) + {\sin }^2\left(\right) = 1 den här identiteten gäller inte för komplexa tal? \end{gathered}$$

Det känns konstigt men det kanske jag sagt tidigare.

Testa om trigonometriska ettan uppfylls med sin och cos definierade enligt Eulers formel:

$\sin \left(z\right)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos \left(z\right)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

Jag har fortfarande svårt att se vad som är så förbryllande.

Per definition:

$\cos(ix)=\frac{e^{i(ix)}+e^{-i(ix)}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$

Analogt $\sin(ix)=i \sinh(x)$

$\boxed{\cos^2(ix)+\sin^2(ix)=\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1}$

Blev lite förvirrad själv.

${\left(a^x\right)}^b = a^{xb}$

$$\begin{gathered} {\left(e^{-i\mathrm{\pi }}\right)}^i = e^{-i*i\mathrm{\pi }} =e^{\mathrm{\pi }}\approx 23.14 \\ {e}^{-\mathrm{i\pi }} = -1 Enligt Wolfram alpha \\ Variabel byte \\ {(-1)}^i = e^{\mathrm{\pi }} \approx 23.14 \end{gathered}$$

Okej vad har jag missat -1ⁱ= 23.14...

kotten123 skrev:

...

Yngve fråga 1: strunta i alla andra!

Fråga 1 vad? Du har fortfarande inte sagt om ditt svar på fråga 1 är ja eller nej.

Jag förstår inte varför du inte vill svara på fråga 2 - 4. Jag hade gärna velat ha ett kvitto på att vi har nått fram till dig med det vi har försökt förklara.

Jag har oklarheter om $e^{i\mathrm{\pi }} och e^{\mathrm{\pi }} och hur dessa hänger ihop!$

Jag kan därför inte ge ett kvitto. Det känns som Euler formula så kan talen bli lite vad som helst!

Det är därför jag försöker vrida och vända på det så jag får klarhet på det!

Så ditt svar på fråga 1 är alltså nej. Varför skriver du helt enkelt inte bara det, när jag dessutom specifikt ber dig att bara svara ja eller nej?

Nej

kotten123 skrev:

Okej vad har jag missat -1ⁱ= 23.14...

Ja, t.ex. verkar du ha missat att $(-1)^i=e^{\pi+ k\cdot 2\pi},\quad k\in\mathbb{Z}$ och du har inte specificerat någon branch.

Jroth skrev:

kotten123 skrev:

Okej vad har jag missat -1ⁱ= 23.14...

Ja, t.ex. verkar du ha missat att $(-1)^i=e^{\pi+ k\cdot 2\pi},\quad k\in\mathbb{Z}$ och du har inte specificerat någon branch.

Skulle du vilja utveckla lite till är du snäll?

Beroende på vilket värde du väljer på k får uttrycket $(-1)^i$ olika värden. När du väljer $k=0$ får du $(-1)^i=e^\pi$

När du väljer $k=-1$ blir uttrycket $(-1)^i=e^{-\pi}$, vilket är den förmodade principalgrenen för t.ex. Mathematica. Det är orättvist att klaga på att du får värden från olika grenar när du inte specificerat grenen.

När du ska utvärdera en komplex exponent använder du $\log[z]$.

$z^c=e^{c(\log[z])}$

Den komplexa logaritmfunktionen är flervärd.

Ett annat spännande exempel på samma tema är $i^i$.

Det visar sig att ett imaginärt tal upphöjt till sig självt ger oändligt många reella tal som resultat. Lite oväntat tycker jag.

Jroth skrev:

Beroende på vilket värde du väljer på k får uttrycket $(-1)^i$ olika värden. När du väljer $k=0$ får du $(-1)^i=e^\pi$

När du väljer $k=-1$ blir uttrycket $(-1)^i=e^{-\pi}$, vilket är den förmodade principalgrenen för t.ex. Mathematica. Det är orättvist att klaga på att du får värden från olika grenar när du inte specificerat grenen.

När du ska utvärdera en komplex exponent använder du $\log[z]$.

$z^c=e^{c(\log[z])}$

Den komplexa logaritmfunktionen är flervärd.

Ett annat spännande exempel på samma tema är $i^i$.

Det visar sig att ett imaginärt tal upphöjt till sig självt ger oändligt många reella tal som resultat. Lite oväntat tycker jag.

Den komplexa logaritmfunktionen är flervärd, jag tror att det är här jag varit och nosat och blivit helt förvirrad av Eulers formula.

Det visar sig att ett imaginärt tal upphöjt till sig självt ger oändligt många reella tal som resultat. Lite oväntat tycker jag.

Det känns lite som science fiction! Så det är normalt att ${(-1)}^{i }\approx 23 om k=0$

Då stämmer att bryggan mellan komplex och reella kan bli vad som helst. Det jag trodde var en motsägelse, är helt normalt när man går mellan komplex och reella. Jag tar tillbaka att Eulers formula är bluff.   

kotten123 skrev:

...

Jag tar tillbaka att Eulers formula är bluff.   

OK bra. Betyder det även att du inte längre vill ha en förklaring till varför det i allmänhet inte gäller att $e^{v}=\cos(v)+\sin(v)$?

Yngve skrev:

kotten123 skrev:

...

Jag tar tillbaka att Eulers formula är bluff.   

OK bra. Betyder det även att du inte längre vill ha en förklaring till varför det i allmänhet inte gäller att $e^{v}=\cos(v)+\sin(v)$?

Svar: Nej!

Här ska du sluta läsa om du vill ha ett tydligt svar.

Jag kommer säkert ställa fler frågor i detta forum om just denna fråga.

Men att $$\begin{gathered} {(-1)}^i kan ha oändligt många svar och att det \\ inte är något fel har jag förstått. \end{gathered}$$

Jag kommer nog ställa fler frågor här forumet om komplexa exponenter.

För den delen är inte riktigt tydlig för mig ännu! Detta kommer jag göra i en ny tråd någon gång i framtid.

tack för hjälpen

kotten123 skrev:

Svar: Nej!

Här ska du sluta läsa om du vill ha ett tydligt svar.

Jag kommer säkert ställa fler frågor i detta forum om just denna fråga.

...

OK, du är hjärtligt välkommen att ställa massor av frågor här, både vad gäller allmäna funderingar och specifika frågeställningar.

Tackar