Eulers formel, e upphöjt till z

Hej,

har problem med en uppgift som lyder: "Bestäm alla z sådana att: $e^z = 1 + i$"

Jag tänker att då både den imaginära och den reella delen är 1 så är det lämpligt om också cos och sin har samma värde, vilket inträffar vid $\frac{\pi}{4}$, vilket ger $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Alltså kan talet skrivas:

$\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$ vilket med skrivsättet $re^{iv}$ borde ge $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

Om man uttrycker det som $e^x * e^y$ så borde den imaginära delen bli $i(\frac{\pi}{4} + n * 2\pi)$ vilket är rätt enligt facit. Men realdelen som jag tycker är $\ln \sqrt{2}$ skall istället vara $\frac{\ln 2}{2}$, vilket jag inte riktigt förstår.