Eulers formel.

Vad menar du med att (eⁱ)^π är " 100% tillväxt skalat till "i" och sedan upphöjt till π"?

Jag vet inte, försöker bara förstå. Men sökte lite och den här formeln är helt enkelt definerad på det viset att taylorserierna för cos och i(sin) adderade är likvärdigt med serien för talet 'e'? Då är formeln knepig att förstå i och med att den egentligen är ganska kryptiskt formulerad om man bara tittar på den rakt av, och försöker förstå den utifrån det man har lärt sig tidigare. Är det korrekt så vet jag inte om jag tycker den är speciellt märkvärdig egentligen, även om det såklart är intressant att det råkar vara så. 

Men jag menade att

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim } e= {(1+\frac{1}{n})}^n \\ e representerar något som växer i direkt proportion till sig själv \\ och menade att det växer i direkt proportion till sig själv. \\ Något som växer i direkt proportion till sig själv i i 1 tidsperiod växer med talet e. \\ Vill man skala det på något sätt, att det till exempel växer 0.69\%av en period \\ kan man göra såhär: \\ \underset{n\to \infty }{\lim } e= {(1+\frac{1}{n})}^{n*\ln 2} \\ Och tänkte då att man kan göra såhär \\ {\left(e\right)}^i = {(1+\frac{1}{n})}^{n*i} \end{gathered}$$

Som kanske då kan representera att tillväxten sker uppåt i komplexa talplanet, eller att i representerar en period egentligen. Sedan representerar då $e^{\theta }$vinkeln.

Och.. nej jag vet inte. Finns det ens någonting att förstå?

Talet e dyker upp i många sammanhang, och i många samband.

Dkcre skrev:

Jag känner till att e är samma sak som taylorserierna för cos och sinus adderade, där sinusserien multipliceras med i. 

Nej, e är ett tal och inget annat. Ungefär 2.71828, men det går inte att skriva exakta värdet med siffror.

Precis som att pi är ungefär 3.14159 men det inte går att skriva exakta värdet med siffror.

Samt att formeln endast gäller för polära koordinater i det komplexa talplanet, och att det uttrycks i radianer där π då är 180°.

Om du menar formeln $e^{\left(i\theta \right)\hspace{0.17em}}=\hspace{0.17em}\cos \left(\theta \right) + i·\sin \left(\theta \right)$ så brukar man visa den geometriskt i det komplexa talplanet. Vinkeln $\theta$ har enheten radianer. Eulers identitet är specialfallet att vinkeln är pi, dvs ett halvt varv.

Undrar... Är det liksom direkt fel här att behandla formeln som ett vanligt exponentiellt uttryck med basen e,

Ett "vanligt exponentiellt uttryck" är e upphöjt till ett reellt tal. Här har vi e upphöjt till ett imaginärt tal.

utan att det istället ska ses som att e representerar tidigare nämnda serier adderade med varandra? I så fall så känns det ju som att uttrycket är lite missvisande egentligen tycker jag. Eller rent utav frångår reglerna. Eller en bättre fråga är kanske om formeln är definerad utifrån dessa serier, eller är det mer ett sammanträffande att det går ihop?

Här är jag inte med på din fråga.

Går det att förklara formeln men helt bortse ifrån att e^iπ = cosπ+isinπ?

Eulers identitet ÄR just e^iπ = cosπ+isinπ, och första termen är -1, andra termen är i*0, dvs 0.

Uttrycket betyder ju (e^i)^π,

Ja, så kan man skriva. Det blir rätt. (e^i) blir cos(1) + i*sin(1), som blir ungefär 0.5403 + i*0.8415. Det talet upphöjt till pi blir -1.

så 100% tillväxt skalat till "i" och sedan upphöjt till π, eller, som växer π vinkel egentligen. 

Nej. Se föregående kommentar.

Jag kan typ köpa att det är skalat till "i"

Nej, nu tänker du fel på något sätt.

och sedan växer med vinkel π/2 är samma sak som en rotation till 90°, men sedan 90° till? Så det är ungefär talet 1 som försöker växa uppåt till i, men det blir roterat samtidigt och följer då en vinkel istället. Fattar inte riktigt.

Här är du ganska nära ett korrekt resonemang.

e upphöjt till noll är 1.

Sedan blir "upphöjt till i*pi/2" en rotation 90 grader i det komplexa talplanet. e^(i*pi/2) = 0 + i*1

Ytterligare en sådan rotation ger oss e^(i*pi/2  + i*pi/2) = e^(i*pi) = -1 + i*0 = -1

Vad hade herr Euler själv i åtanke? Han undrade varför folk tyckte formeln var något speciellt när det bara är ett simpelt geometriskt samband vad jag förstår.. 

Finessen är att det är e upphöjt till ett imaginärt tal.

Jo, det är ett tal. Uttrycker mig dåligt men summan av serierna för en given vinkel blir samma sak som serien för e fast för en given vinkel x?

Men i vilket fall, e här representerar endast cos och sin, och det har inte så mycket att göra med e självt egentligen, det råkar bara vara så att man kan representera sin cos funktionerna på det viset. Känns som en gimmick litegrann att använda sig av den notationen, eller så förstår jag inte. Jag menar motorn i det hela är hela tiden cosinus och sinus funktionerna, egentligen.

Ska alltid vara så enormt besvärligt att förstå allting. 

Om e inte uteslutande representerar cos+isin i sammanhanget utan faktiskt kan ses som sig självt så har vi ju 2.71^3.14i som blir att vi börjar på 1, sedan växer vi i riktningen i (som är rakt upp egentligen, men vi tvingas rotera i en cirkel då det är polära koordinater) 20 någonting, som inte.. ja, vad är det för någonting. Alltså måste det vara så att e ska utläsas som cos+isin och har "ingenting" med att e att göra, egentligen.

Tillägg: 5 jul 2024 12:00

Det verkar som ett e ska tolkas som en funktion istället för talet e som sådant. Så när det står e där så står det egentligen serien för det och man ska plugga in ipi istället för X då, och på så vis går det ihop i slutändan. Så e ska i alla fall inte tolkas som talet e.

Att skriva om e som $1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.... \frac{x^n}{n!}$

Och ersätta X med $i\mathrm{\pi }$och se det som vektorer som byter riktning 90° för varje värde känns halvt tillfredställande.

Och att även $e^{i{x}^{}}$ måste följa samma deriverings regler som allt annat och derivatan bör bli $i e^{i{x}^{}}$, vilket skulle innebära 90° i förhållande till nuvarande punkt. Rimligt eftersom tangenten till en cirkel alltid är 90° i förhållande  till centrum. Och om funktionen alltid växer i den riktningen kommer det att bli en cirkel.

Även då definitionen för e enligt ${( 1+ \frac{1}{n})}^n$

Och ersätta den med $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+i\frac{\pi }{n})n$och sedan då se detta som upprepad multiplikation igen, då vandrar man runt cirkeln på det viset i och med att komplexa tal beter sig på det sättet. Känns också tillfredställande.

Såg ett annat exempel av en Daniel Barker med flera på YT där han tar upp differentialekvationer, och där då derivatan av det komplexa talet cos(v) + isin(v) är samma sak i slutändan efter lite manipulering som i(cos(v) + isin(v)), och hur man då av den anledningen kunde skriva om det som en exponentialfunktion i och med att talet e har egenskaperna att det är sin egen derivata, och så vidare.

Jag förstår inte det alls egentligen, vet inte inte vad en diffekvation är överhuvudtaget, men det hela känns som en massa mental gymnastik där man behöver sträcka sig ganska mycket i olika riktningar för att liksom hitta ett sätt att få den här formeln att vara rimlig. Troligen upplever jag det så för att jag helt enkelt inte förstår naturligtvis.. Men den här delen tänker jag inte försöka förstå eftersom jag inte ens kan derivera sin och cos funktionerna än, eller varför derivator ser ut som de gör där. Oerhört frustrerande att inte förså något dock, avskyr det.

Sen är det också svårt att släppa att se 'e' som talet e, och inte som en formel för e. Men det är egentligen också rimligt att göra, då en vanlig exponentialfunktion gör precis samma sak. Exempelvis så är ju $e^{\ln 2}$samma sak som $\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+\frac{0.69}{n})}^n$.

Och egentligen, hur ska vi annars representera talet 'i' som en exponent om inte på det viset, eftersom det då i slutändan är upprepad multiplikation, som är ganska tydligt definerat. Så köper det också.

Dkcre skrev:

Att skriva om e som $1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.... \frac{x^n}{n!}$

Och ersätta X med $i\mathrm{\pi }$och se det som vektorer som byter riktning 90° för varje värde känns halvt tillfredställande.

Och att även $e^{i{x}^{}}$ måste följa samma deriverings regler som allt annat och derivatan bör bli $i e^{i{x}^{}}$, vilket skulle innebära 90° i förhållande till nuvarande punkt. Rimligt eftersom tangenten till en cirkel alltid är 90° i förhållande  till centrum. Och om funktionen alltid växer i den riktningen kommer det att bli en cirkel.

Objektet $i$ är ett algebraiskt objekt som är definierat på ett sätt som gör att det följer samma algebraiska regler som alla andra tal (med brasklappen att $i^2 = -1$, förstås). Det finns inget "speciellt" med komplexa eller imaginära tal egentligen. Det är även därför det inte finns några "egna" deriveringsregler för $i$

Att kolla på Taylorserien till $e^{ix}$ och se att man kan dela upp termerna, så att en del konvergerar till $\cos x$ och den andra konvergerar till  $i\sin x$ är ganska fiffigt. Troligtvis var det även så Euler kom på detta. Men att tänka på vektorer eller göra geometriska tolkningar tror jag inte man behöver.

Jag tycker personligen det är enklare att bara betrakta objektet $i$ rent algebraiskt och högaktningsfullt skita i geometriska tolkningar. De håller ändå inte när det blir mer abstrakt.

naytte skrev:

Dkcre skrev:

Att skriva om e som $1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.... \frac{x^n}{n!}$

Och ersätta X med $i\mathrm{\pi }$och se det som vektorer som byter riktning 90° för varje värde känns halvt tillfredställande.

Och att även $e^{i{x}^{}}$ måste följa samma deriverings regler som allt annat och derivatan bör bli $i e^{i{x}^{}}$, vilket skulle innebära 90° i förhållande till nuvarande punkt. Rimligt eftersom tangenten till en cirkel alltid är 90° i förhållande  till centrum. Och om funktionen alltid växer i den riktningen kommer det att bli en cirkel.

Objektet $i$ är ett algebraiskt objekt som är definierat på ett sätt som gör att det följer samma algebraiska regler som alla andra tal (med brasklappen att $i^2 = -1$, förstås). Det finns inget "speciellt" med komplexa eller imaginära tal egentligen. Det är även därför det inte finns några "egna" deriveringsregler för $i$

Att kolla på Taylorserien till $e^{ix}$ och se att man kan dela upp termerna, så att en del konvergerar till $\cos x$ och den andra konvergerar till  $i\sin x$ är ganska fiffigt. Troligtvis var det även så Euler kom på detta. Men att tänka på vektorer eller göra geometriska tolkningar tror jag inte man behöver.

---

Jag tycker personligen det är enklare att bara betrakta objektet $i$ rent algebraiskt och högaktningsfullt skita i geometriska tolkningar. De håller ändå inte när det blir mer abstrakt.

Hej,

Okej, men, att se det som upprepad multiplikation av ett komplext tal i det komplexa talplanet är en korrekt tolkning av formeln?

Tillägg: 6 jul 2024 11:13

Eller, nej, det var så man inte skulle se det. Ju mer jag försöker förstå det här desto mer förvirrad blir jag. Som vanligt.