Eulers formel

Gör substitutionen $w = z + 2 + 4i$ nu har du ekvationen

$w^{16} = -2\sqrt{3} - 2i$

som du kan lösa. Sedan när du har lösningarna så substituerar du tillbaka.

Har nu försökt mig på det, fastnar dock. Känns inte rimligt det jag har gjort här:

$$\begin{gathered} {\omega }^{16}=4\left(\cos \right(\frac{-\pi }{6})+i\sin (\frac{-\pi }{6}\left)\right)=4e^{\frac{-\pi i}{6}} \\ {\left|\omega \right|}^{16}{e}^{16iv}=4e^{\frac{-\pi i}{6}} \\ \left\{\begin{array}{l}{\left|\omega \right|}^{16}=4\to \omega =\sqrt[4]{2}\\ 16v=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\to v=-\frac{\pi }{96}+\frac{1}{8}\pi n\end{array}\right. \end{gathered}$$

Argumentet har inte blivit rätt, du har att det gäller att

$\arctan\left(\frac{-2}{-2\sqrt{3}}\right) = \pi/6$

Nu ligger ju talet i tredje kvadranten så man får att vi behöver addera på $\pi$ på argumentet. Därför är alltså

$-2\sqrt{3} - 2i = 4e^{\pi i/6 + \pi i} = 4e^{7\pi i/6}$.

Sedan gäller det att

$4^{1/16} = \sqrt[8]{2}$

Så man får alltså att om

$\omega^{16} = 4e^{\frac{7\pi i}{6}}$

Så gäller det att

$\omega = \sqrt[8]{2}e^{\displaystyle \frac{7\pi i}{16\cdot 6} + \frac{2\pi i}{16}n}$

Så du får lösningarna för $n = 0,1,2,3,\ldots, 15$.

tack det argumentet där ja som strulade till det! Samt en konstig räkning av $4^{\frac{1}{16}}$.

Gäller det nu att alla samtliga w=$z+2+4i$? 

Likt komplexa tal då man sätter z=w?

$\sqrt[8]{2}{e}^{\frac{7\mathrm{\pi i}}{6\times 16}+\frac{2\mathrm{\pi i}}{16}n}=z+2+4i$