Eulers formel

Hej!

Du verkar ha missat ett $i$ vid sista sinus termen i VL.

Det gäller att $\sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right)$ och $\cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)$ så det är bara att du förenklar ditt VL. Om du inte ser det så rita i enhetscirkeln så ser du nog det.

I HL står det $\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right)$, det är bara att räkna ut detta så får du att det är lika med $-1$. Återigen, om du inte är säker på hur så rita i enhetscirkeln.

Ok. Så långt kmr jag. Hur ska jag tänka sen?

Du har fortfarande glömt ett $i$ framför sista sinus termen.

Sen gör du som vanligt, likställ real- och imaginärdelarna och lös ekvationssystemet. Högerledet kan skrivas på formen $a+ib$ med $a=-1$ och $b=0$, så skriv vänsterledet på formen $A+iB$ och lös ekvationssystemet $A=a$ och $B=b$.

Edit. Nu löste jag den. 

Den här går även utmärkt att lösa med ett resonemang där du illustrerar $e^{ix}$, $e^{-ix}$ och $e^{i\pi}$ som vektorer och sedan utför grafisk vektoraddition.

Då blir Z1= 3*(0.6)+0.6i  = 1.8+ 0.6i 

Z2=0

Är det rätt svar/ lösning?

Rätt svar, men fel tråd 😃

Svaret borde ligga här istället.

Oj😂 

Yngve skrev:

Den här går även utmärkt att lösa med ett resonemang där du illustrerar $e^{ix}$, $e^{-ix}$ och $e^{i\pi}$ som vektorer och sedan utför grafisk vektoraddition.

Hur kan man använda vektoraddition?

Notera att om $z=e^{ix}$ så är $e^{-ix}=\bar{z}$, dvs $e^{ix}$ och $e^{-ix}$ är varandras komplexkonjugat.

Det betyder att talet $z+\bar{z}=e^{ix}+e^{-ix}$ saknar imaginärdel och alltså ligger på den reella axeln.

Vidare gäller att $|z|=|\bar{z}|=1$, dvs att båda talen ligger på "den komplexa enhetscirkeln".

Pröva nu att rita $z$ och $\bar{z}$ för en godtycklig vinkel $x$. Illustrera talen som vektorer som utgår från origo.

Summan $z+\bar{z}$ motsvarar ju nu summan av de två vektorerna. Konstruera denna summa grafiskt. Var hamnar resultatet?

Pröva nu med andra värden på vinkeln $x$ tills du hittar något där vektorsumman är $e^{i\pi}$, dvs en pil från origo till talet -1.

Visa dina försök.

Jag förstod inte vad du menade med den här meningen "Det betyder att talet saknar imaginärdel och alltså ligger på den reella axeln."

Katarina149 skrev:

Jag förstod inte vad du menade med den här meningen "Det betyder att talet saknar imaginärdel och alltså ligger på den reella axeln."

Pröva att addera två godtyckliga komplexa tal, där talen är varandras komplexkonjugat. Imaginärdelarna "tar ut" varandra, eller hur?

2+3i + 2-3i = 4 , de imaginära delar tar ut varandra medan den reella delen adderas 

Hur ska jag göra det här "Pröva nu att rita  för en godtycklig vinkel x. Illustrera talen som vektorer som utgår från origo." Vilket z ska jag rita? Du skriver rita z för en godtycklig vinkel, vad menar du?

Katarina149 skrev:

2+3i + 2-3i = 4 , de imaginära delar tar ut varandra medan den reella delen adderas 

Japp. Pröva gärna med ett godtyckligt komplext tal a+bi. Visst blir det samma sak då?

Pröva även att illustrera detta grafiskt, dvs markera ett godtyckligt komplext tal $z$ och dess komplexkonjugat $\bar{z}$ i det komplexa talplanet. Rita en pil från origo till respektive tal. Summera talen, dvs utför vektoraddition med pilarna. Den resulterande pilen hamnar på realaxeln, eller hur?

Katarina149 skrev:

Hur ska jag göra det här "Pröva nu att rita  för en godtycklig vinkel x. Illustrera talen som vektorer som utgår från origo." Vilket z ska jag rita? Du skriver rita z för en godtycklig vinkel, vad menar du?

Jag menar exempelvis så här

Hur ska detta ge mig någon slags vektoraddition?

Katarina149 skrev:

Hur ska detta ge mig någon slags vektoraddition?

Punkten som du har ritat dit är inte $\overline{z}$. Om vi skriver z = a+bi så har du ritat -a+bi men du borde ha ritat a-bi.

Katarina149 skrev:

Hur ska detta ge mig någon slags vektoraddition?

Du har ritat $e^{i(\pi -x)}$.

$x$ är vinkeln mot den positiva delen av den reella axeln, precis på samma sätt som när vi jobbade med trigonometri och enhetscirkeln 

Hur ritar jag isåfall konjugaten av z i enhetscirkeln?

Komplexkonjugatet är e^-xi, dvs vinkeln är -x.

Men börja med att läsa svar #18 igen. Det hjälper dig att förstå hur ett godtyckligt $\bar{z}$ förhåller sig till $z$ rent grafiskt.

Bilden borde så se ut så här 

Ja, det stämmer.

Byt nu ut de röda prickarna på cirkeln mot pilspetsar.

Då ser du att de komplexa talen kan representeras som vektorer.

Utför sedan grafisk vektoraddition där du helt enkelt adderar vektorerna med varandra.

Jag parallell förflyttade ena vektorn 

Jag får det till något liknande det här.

Men jag förflyttade ju den röda pilen (Z konjugat) till den första kvadranten som blåa pilen visar. Varför ritar du två pilar av konjugaten till z?

OK så här då. Jag tyckte att din parallellförflyttade pil hade lite fel riktning.

Yngve skrev:

OK så här då. Jag tyckte att din parallellförflyttade pil hade lite fel riktning.

Du fick en rektangel liknande figur när du ritade ut den resulterande resultanten i bild #28.. Hur ska man rita den resulterande resultanten utifrån bilden #30

Som den gröna pilen.

Kommer du ihåg detta från Matte 1?

Titta annars här, avsnittet "Addition av vektorer".

Den resulterade ”pilen” är alltså den gröna . Men vad visar den? 🙈 Vad är meningen med att göra en sådan vektor addition?

Ja! Jag kommer ihåg vektor addition 

Den gröna pilen representerar det komplexa talet e^ix+e^-ix.

Det gäller nu för dig att hitta ett x som gör att den gröna pilen hamnar på det komplexa taket -1+0•i.

den gröna pilen visar att addition av z och konjugaten av z inte kommer ge någon imaginär del utan enbart en reell del.

Varför ska man göra det?

" gröna pilen hamnar på det komplexa taket -1+0•i."

Katarina149 skrev:

den gröna pilen visar att addition av z och konjugaten av z inte kommer ge någon imaginär del utan enbart en reell del.

Bra! Det stämmer.

Läs nu svar #18 igen, lek runt lite med att addera  komplexa tal i olika format med sina komplexkonjugat.

Läs sedan svar #13 igen 

Katarina149 skrev:

Varför ska man göra det?

" gröna pilen hamnar på det komplexa taket -1+0•i."

Därför att det komplexa talet -1+0•i, dvs -1, är just lika med $e^{i\pi}$, dvs högerledet i ursprungsekvationen.

Yngve skrev:

Som den gröna pilen.

Kommer du ihåg detta från Matte 1?

Titta annars här, avsnittet "Addition av vektorer".

Men den gröna pilen visar att e^i*pi inte blir minus ett utan 1 .. Så jah förstår inte ditt tankesätt i #38

Katarina149 skrev:

Men den gröna pilen visar att e^i*pi inte blir minus ett utan 1 .. 

Det stämmer. Och det visar att detta x inte är en lösning till ekvationen.

Din uppgift nu är att hitta ett annat x som ger en lösning till ekvationen, dvs ett x som har den egenskapen att e^ix + e^-ix = -1.

Och hela grejen med det här är att du kan resonera dig fram till lösningen med hjälp av just ett sånt här grafiskt tankestöd.

X borde isåfall vara pi? Eller?  Jag tänker att den gröna pilen bör vara motriktad dvs i andra kvadranten och ge ett värde -1

Det stämmer att den gröna pilen bör vara riktad åt andra hållet (och ha längden 1). Men betyder det verkligen att x ska ha värdet pi?

Pröva! Vad händer om x = pi?

Ok. Vi använder eulers formel. e^iv = (cos v + i*sinv)

I det här fallet har vi att v=180 grader. Detta ger oss cos 180 + i*sin180 = -1 

Det här uttrycket e^iv ska adderas med e^-iv = cos(180)-sin(180) = -1 

Till sist får vi -1+-1=-2 vilket inte är lika med -1

Katarina149 skrev:

Ok. Vi använder eulers formel. e^iv = (cos v + i*sinv)

I det här fallet har vi att v=180 grader. Detta ger oss cos 180 + i*sin180 = -1 

Ja, men nu var det ju inte e^IV som.skulle ha värdet -1 utan istället e^ix + e^-ix som skulle ha värdet -1

Katarina149 skrev:

Ok. Vi använder eulers formel. e^iv = (cos v + i*sinv)

I det här fallet har vi att v=180 grader. Detta ger oss cos 180 + i*sin180 = -1 

Det här uttrycket e^iv ska adderas med e^-iv = cos(180)-sin(180) = -1 

Till sist får vi -1+-1=-2 vilket inte är lika med -1

Att vinkeln x eller v som jag nu räknar med ska vara pi stämmer alltså inte . Det borde vara någon annan vinkel 

Katarina149 skrev:

Till sist får vi -1+-1=-2 vilket inte är lika med -1

Nej just det. Så det kan inte vara så att x = pi.

Jag tänker att du kan lösa uppgiften grafiskt.

Rita ett ungefärligt e^ix som, adderat med e^-ix, blir lika med -1.

Dvs hur ska de två röda pilarna ungefär se ut för att deras summa ska vara en grön pil som pekar ut talet -1?

Det är just det jag har försökt klura ut men jag kommer inte riktigt på hur jag ska rita . Som du skriver  ”

Rita ett ungefärligt eix som, adderat med e-ix, blir lika med -1.

Dvs hur ska de två röda pilarna se ut för att deas summa ska vara en grön pil som pekar ut talet -1?”

Ska jag testa mig fram med olika värden på x?

Ja, pröva dig fram.

Det behöver inte vara exakt, men du ska få en förståelse för ungefär hur pilarna ska vara riktade.

Du menar att jag ska testa med olika värden på x?

Jag tänker att det borde bli ngt så här . Men vilken vinkel Är det som visas på bilden?

Katarina149 skrev:

Du menar att jag ska testa med olika värden på x?

Ja, men inte med numeriska värden.

Rita!

När du ritade ett $z$ som var riktad snett upp åt höger (dvs i första kvadranten) så hamnade den gröna pilen på den positiva delen av den reella axeln.

Det ger dig en ledtråd för hur du ska göra för att få den gröna pilen att hamna på den negativa delen av den reella axeln ...

Katarina149 skrev:

Jag tänker att det borde bli ngt så här . Men vilken vinkel Är det som visas på bilden?

Jag gissar på att vinkeln x ska vara 90+30 grader. Vi testar oss fram! 

e^i*120 = cos 120 + i*sin120 

e^-i*120 = cos 120- i * sin120 

cos 120 + i *sin120 + cos 120 - i*sin120 = 0.5 + 0.5 = 1  alltså stämmer det inte. 

Katarina149 skrev:

cos 120 + i *sin120 + cos 120 - i*sin120 = 0.5 + 0.5 = 1  alltså stämmer det inte. 

Hur får du cos(120°) att bli 0,5?

Oj jag slog fel på miniräknaren. Det ska vara cos(120)=-0.5 

Då blir svaret rätt. För då får jag -0.5-0.5=-1

Är det rätt tänkt?

Ja, det är rätt tänkt.

Du kan även tänka så här: På grund av symmetri (se bild) så kommer e^ix att ta dig exakt halvvägs från origo till -1 i horisontell ledd.

Alltså måste Re e^ix vara lika med -0,5. Alltså måste x = 2pi/3

Jag tror inte att jag förstår vad du menar 

Okej?  Tror inte att jag förstår  bilden utan text

Pga symmetri så är triangeln OAB likbent, där sträckan OA är lika lång som sträckan AB.

Sträckan OB har längden 1, alltså måste punkten A ligga halvvägs mellan hörn O och hörn B, vilket innebär att realdrlen av e^ix måste vara lika med -0,5.

okej nu förstår jag!

OK bra, då var vi klara med denna alternativa lösningsmetod.

Den är väldigt effektiv om man bara är van vid det sättet att tänka.

du menar att det går snabbt att lösa sån här typer av frågor när man använder en grafisk lösningsmetod som den vi använde ? isåfall håller jag med!

Katarina149 skrev:

du menar att det går snabbt att lösa sån här typer av frågor när man använder en grafisk lösningsmetod som den vi använde ?

Ja, ofta men inte alltid.

Jämför Fysik 1 och de olika uppgifterna kring fritt fall, där vissa uppgifter löstes väldigt enkelt och elegant med hjälp av energiresonemang, medan andra krävde mer avancerade uträkningar.

ja precis! Det beror på frågan 

Just det. Det kan vara värt att pröva en enkel och effektiv metod först, innan man börjar blåräkna.