Euler bakåt

Frågan:

Vad blir resultatet av ett steg av Euler bakåt med $h = 0.01$ tillämpat på begynnelsevärdesproblemet

$y' (t) = 25 y (t)^{2} y (0) = 1$

Tips: Rötterna till ekvationen $0 = - z + 1 + α z^{2}$ är $z = \frac{2}{1 \pm \sqrt{1 - 4 α}}$

Euler bakåt om jag förstått rätt:
$y_{i + 1} = y_{i} + h \cdot f (t_{i + 1}, y_{i + 1})$ där $f = y'$

Eftersom $y_{i + 1}$ finns i båda led kan vi inte sätta in värdet av $y_{i}$ (som i euler frammåt) utan skriver den med $y_{i + 1}$ och löser ut $y_{i + 1}$ ur ekvationen vi får.

Min lösning:

$y_{i + 1} = y_{i} + 25 {y_{i + 1}}^{2} \Rightarrow y_{i + 1} = 1 + 25 {y_{i + 1}}^{2} \Rightarrow 0 = - y_{i + 1} + 1 + 25 {y_{i + 1}}^{2} \Rightarrow (e n l . t i p s :) y_{i + 1} = \frac{2}{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 25}} = \frac{2}{1 \pm \sqrt{- 99}} \neq \pm 2 (f a c i t)$

Glömde $h = 0.01$ , vi får:
$y_{i + 1} = 1 + 0.01 * 25 {y_{i + 1}}^{2} \Rightarrow 0, 25 {y_{i + 1}}^{2} + 1 - y_{i + 1} = 0 \Rightarrow {y_{i + 1}}^{2} + 4 - 4 y_{i + 1} = 0 \Rightarrow y_{i + 1} = 2 \pm \sqrt{4 - 4} = 2 \neq \pm 2$

Hmm, varför även -2 räknades som rätt svar vid rättning är jag fortfarande osäker på...

Svara