Euklidiskt rum ON bas

Nja, svaret är två baselement i form av polynom av grad 1, t.ex.  basen $\{ \sqrt{3}x, 2-3x\}$

Dessutom verkar något ha gått lite fel, låt oss ta en sak i taget.

För det första verkar du byta plats på $v_1$ och $v_2$. Eftersom du sedan räknar med detta platsbyte bestämmer vi att $v_1=1$ och $v_2=x$?

Vad blir alltså $b_2=v_2-\frac12b_1$?

Hur långt är det baselementet? Hur långt ska ett baselement vara i en ortonormerad bas?

D4NIEL skrev:

Nja, svaret är två baselement i form av polynom av grad 1, t.ex.  basen $\{ \sqrt{3}x, 2-3x\}$

Dessutom verkar något ha gått lite fel, låt oss ta en sak i taget.

För det första verkar du byta plats på $v_1$ och $v_2$. Eftersom du sedan räknar med detta platsbyte bestämmer vi att $v_1=1$ och $v_2=x$?

Vad blir alltså $b_2=v_2-\frac12b_1$?

Hur långt är det baselementet? Hur långt ska ett baselement vara i en ortonormerad bas?

Haha ser att jag gjorde lite slarvfel. Basen ska vara i polynombasen så det är samma som du skrev, dock ej tydlig där. Har uppdaterat uppgiften lite snabbt

D4NIEL skrev:

Nja, svaret är två baselement i form av polynom av grad 1, t.ex.  basen $\{ \sqrt{3}x, 2-3x\}$

Dessutom verkar något ha gått lite fel, låt oss ta en sak i taget.

För det första verkar du byta plats på $v_1$ och $v_2$. Eftersom du sedan räknar med detta platsbyte bestämmer vi att $v_1=1$ och $v_2=x$?

Vad blir alltså $b_2=v_2-\frac12b_1$?

Hur långt är det baselementet? Hur långt ska ett baselement vara i en ortonormerad bas?

Hur menar du med att jag bytt plats på v1 och v2?

MatteLiam skrev:

 

f(x) = 1*x + 0 och g(x) = 0 * x + 1. Skrev om dessa med basen för polynom kalla den p.

v1 = p[1,0], v2 = p[0,1]

Vi gör Gram-Schmidt på dessa

Här verkar det som att du skriver om $f(x)=x$ och $g(x)=1$ som komponenterna $(1,0)$ och $(0,1)$ vilket antyder att du använder basen med uppräkningsordning $\{x,1\}$

Det betyder att $v_1=x$

Men när du börjar räkna verkar du ha kastat om ordningen och låter basen vara $\{1,x\}$, varvid

$v_1=1$

Det viktiga är att du inte byter uppräkningsordning mitt i uppgiften utan är konsekvent.

Hursomhelst, du bör få (med $v_1=1$ och $v_2=x$)

$b_2=v_2-\frac12b_1=x-\frac12$

Längden $||b_2||^2$ ges av $\displaystyle \int_0^1 (x-\frac12)^2\, dx$. Längden av ett baselement i en ortonormerad bas ska vara $1$. Alltså måste du normera basvektorn. Och normeringen avser den givna skalärprodukten! (Inte L2-normen eller den euklidiska normen som du tycks vilja använda). Kontrollera slutligen att $\langle b_1,b_2 \rangle=0$ (Ortogonala baselement).

Ange svaret som två normerade polynom, inte som några komponenter i en vektor med gud vet vilken bas.

D4NIEL skrev:

MatteLiam skrev:

 

f(x) = 1*x + 0 och g(x) = 0 * x + 1. Skrev om dessa med basen för polynom kalla den p.

v1 = p[1,0], v2 = p[0,1]

Vi gör Gram-Schmidt på dessa

Här verkar det som att du skriver om $f(x)=x$ och $g(x)=1$ som komponenterna $(1,0)$ och $(0,1)$ vilket antyder att du använder basen med uppräkningsordning $\{x,1\}$

Det betyder att $v_1=x$

Men när du börjar räkna verkar du ha kastat om ordningen och låter basen vara $\{1,x\}$, varvid

$v_1=1$

Det viktiga är att du inte byter uppräkningsordning mitt i uppgiften utan är konsekvent.

Hursomhelst, du bör få (med $v_1=1$ och $v_2=x$)

$b_2=v_2-\frac12b_1=x-\frac12$

Längden $||b_2||^2$ ges av $\displaystyle \int_0^1 (x-\frac12)^2\, dx$. Längden av ett baselement i en ortonormerad bas ska vara $1$. Alltså måste du normera basvektorn. Och normeringen avser den givna skalärprodukten! (Inte L2-normen eller den euklidiska normen som du tycks vilja använda). Kontrollera slutligen att $\langle b_1,b_2 \rangle=0$ (Ortogonala baselement).

Ange svaret som två normerade polynom, inte som några komponenter i en vektor med gud vet vilken bas.

Så när jag normerar vektorerna så måste jag också använda mig av skalärprodukten som uppgiften gav mig? Det har jag helt glömt bort…

D4NIEL skrev:

MatteLiam skrev:

 

f(x) = 1*x + 0 och g(x) = 0 * x + 1. Skrev om dessa med basen för polynom kalla den p.

v1 = p[1,0], v2 = p[0,1]

Vi gör Gram-Schmidt på dessa

Här verkar det som att du skriver om $f(x)=x$ och $g(x)=1$ som komponenterna $(1,0)$ och $(0,1)$ vilket antyder att du använder basen med uppräkningsordning $\{x,1\}$

Det betyder att $v_1=x$

Men när du börjar räkna verkar du ha kastat om ordningen och låter basen vara $\{1,x\}$, varvid

$v_1=1$

Det viktiga är att du inte byter uppräkningsordning mitt i uppgiften utan är konsekvent.

Hursomhelst, du bör få (med $v_1=1$ och $v_2=x$)

$b_2=v_2-\frac12b_1=x-\frac12$

Längden $||b_2||^2$ ges av $\displaystyle \int_0^1 (x-\frac12)^2\, dx$. Längden av ett baselement i en ortonormerad bas ska vara $1$. Alltså måste du normera basvektorn. Och normeringen avser den givna skalärprodukten! (Inte L2-normen eller den euklidiska normen som du tycks vilja använda). Kontrollera slutligen att $\langle b_1,b_2 \rangle=0$ (Ortogonala baselement).

Ange svaret som två normerade polynom, inte som några komponenter i en vektor med gud vet vilken bas.

Varför bryr vi oss om längden av b2 upphöjt till 2? 

Vi normerar väl b2 genom (1/|b2|) * b2? 

Fick att längden var roten ur 12

Det är ju längden i kvadrat vi får när vi beräknar integralen $\|b_2\|^2=\langle b_2,b_2 \rangle=\frac{1}{12}$

Och ja, det stämmer att $\hat{b}_2=2\sqrt{3}(x-\frac12)$

D4NIEL skrev:

Det är ju längden i kvadrat vi får när vi beräknar integralen $\|b_2\|^2=\langle b_2,b_2 \rangle=\frac{1}{12}$

Och ja, det stämmer att $\hat{b}_2=2\sqrt{3}(x-\frac12)$

Då hänger jag med! Såg fel

MatteLiam skrev:

D4NIEL skrev:

Det är ju längden i kvadrat vi får när vi beräknar integralen $\|b_2\|^2=\langle b_2,b_2 \rangle=\frac{1}{12}$

Och ja, det stämmer att $\hat{b}_2=2\sqrt{3}(x-\frac12)$

Ja men längden upphöjt till 2 är väl inte integralen upphöjt till 2 som i ditt tidigare svar

Njae? Du måste sätta $f(x)=(x-1)$ och $g(x)=(x-1)$ och sedan beräkna skalärprodukten$\displaystyle \int_0^1 f(x)g(x)\,dx$

$\displaystyle \int_0^1(x-1)^2\, dx = \frac{1}{12}$ och det är ju $\|b_2\|^2$