Ett vektorrum i vilken man inte kan definiera en inre produkt?

Vektorrum definieras över kroppar. Ett krav på inre produkt är att <x,x> >=0. Vi behöver alltså någon form av ordning på kroppen så att vi kan prata om positiva element. Om vi har en ändlig kropp så är det svårt (vi vill vanligen att ordningen ska vara kompatibel med kropp-strukturen, och det går inte över ändliga kroppar).

Om vi istället tittar på vektorrum över exempelvis R (eller delkroppar av C) så har vi inte det problemet. Då kan vi om vi har urvalsaxiomet alltid hitta en bas för vektorrummet (en såkallad Hamelbas). Bas är alltså en lin. ob. mängd så att varje vektor kan uttryckas som en ändlig lin. komb. från mängden. Om vi har en bas så är det inte så svårt. Då indexerar vi basen med index från mängden I och säger att <e_i,e_j>=0 om i inte är lika med j och 1 annars och låter resten följa från att den ska vara bilinjär. Motsvarande grejer kan göras över C (man får ta ett konjugat på den andra vektorn bara).

Nää jag förstår inte, hur har du svarat på min fråga? 

Ok, försöker lite enklare.

En inre produkt är ju egentligen en funktion f(x,y)=z där x och y är vektorer och z är en skalär. Den ska också uppfylla några regler, exempelvis att f(x,x)>=0.

Det finns många olika vektorrum, en egenskap hos vektorrum är vad man plockar sina skalärer ifrån. När man börjar i linjär algebra så brukar man ta skalärerna som reella tal, och vanliga vektorrum kan då vara R^2, R^3 t.ex.

Men man kan använda andra skalärer, exempelvis komplexa tal C. Ett par exempel på vektorrum är då C^2, C^3. Detta är i sig inget problem för att hitta en inre produkt, då vi fortfarande kan hitta positiva tal i C så vi kan prata om f(x,x)>=0. Vi får dock vara försiktiga då vi inte kan prata om "större än" för exempelvis 1+i.

Mer exotiska skalärer är såkallade ändliga kroppar. Du kanske har stött på moduloräkning i talteorin, där man t.ex. säger att 2=7 mod 5? Det går att ta "heltal modulo p" där p är ett primtal som skalärer och fortfarande få vektorrum som fungerar ungefär som vanligt. Dock så går det inte att på ett bra sätt definiera en motsvarighet till positiva tal, dvs tal som är större än 0. Det gör att villkoret f(x,x)>=0 inte blir meningsfullt och alltså saknar vi inre produkt.

Om man inte gillar lin.alg över konstiga kroppar så kan man ställa samma fråga över t.ex. R, så våra skalärer är nu reella tal. Då går det alltid att hitta en inre produkt (iallafall om vi får använda urvalsaxiomet, en regel som säger hur vi kan hantera oändliga mängder på ett bra sätt). Om det är en av våra vanliga vektorrum, R^2, R^3, R^914 osv så kan vi ta vår vanliga skalärprodukt och vi är klara. Om det är ett konstigare vektorrum så kan vi använda urvalsaxiomet för att visa att det finns en bas.

En bas innebär att vi har en samling B (kan vara oändligt många) vektorer så att varje vektor kan beskrivas som en linjärkombination av ändligt många från vår samling. Vektorerna i B ska också vara linjärt oberoende.

Har vi väl en bas så kan vi använda samma strategi som för R^2, nämligen att vi säger att en basvektor e skalärt med sig själv ger 1 ( (0,1)*(0,1)=1) och två olika basvektorer ger 0 ( (1,0)*(0,1)=0). En sådan skalärprodukt kan sedan utökas på ett naturligt sätt till alla vektorer i vektorrummet. Det är en del steg att visa att det är väldefinierat, uppfyller reglerna osv, men det går att fixa.

Så svaret på din fråga är att det går inte att hitta inre produkt för alla vektorrum eftersom skalärer kan ställa till med problem. Däremot så fungerar det för alla reella (eller komplexa/rationella etc) vektorrum pga basexistens via urvalsaxiomet.

okej!

Jag tittade på urvalsaxiomet på wiki men förstod inte, men längst ned stod det att det var ekv med att varje vektorrum har en bas och jag antar att det är det viktiga.

Gör det ett vektorrum exotiskt, att det inte går att def en inre produkt i den? Eller är det tvärtom så att Rn över R (eller C) är ett särskilt trevligt sådant i ett hav att annars ganska fula vektorrum?

Är det bara f(x,x)>=0 som kan ställa till problem? Du har inte nämnt de andra villkoren?

Är det bara kroppen som ställer till problem? Valet av mängd av vektorer då?

Och vad är detta?

finns det rum som inte har metrik?

den gula och den rosa, är de ens vektorrum (de har inte det i sitt namn)?

Det är en (linjär algebra-centrerad) hierarki av strukturer. Varje inre produkt-rum är ett normerat vektorrum, varje normerat vektorrum är ett metriskt rum osv.

Det finns rum som inte har metrik. Allmänna topologiska rum klarar av att beskriva fenomen som "närmar sig" och "ligger på kanten till" utan att nödvändigtvis kunna ha ett avståndsbegrepp. Man kan tänka sig det svarta som mängder i allmänhet, lite mer struktur så har vi ett topologiskt rum. Vissa topologiska rum kommer från/kan utrustas med en metrik osv.

Det kanske egentligen är en separat fråga att förstå dessa skillnader.

Kan mängden i sig ställa till problem? Nu förklarade du hur kroppen kunde göra det omöjligt att definiera en inre produkt.