Härleda formeln för cirkelns area

Känns som du börjat lite fel.

Följande gäller:

$\Delta A = \pi (x+\Delta x)^2-\pi x^2$

Vidare är:

$A\left(r\right)={\int }_0^r\Delta A\left(x\right)dx$

tomast80 skrev:

Känns som du börjat lite fel.

Följande gäller:

$\Delta A = \pi (x+\Delta x)^2-\pi x^2$

Vidare är:

$A\left(r\right)={\int }_0^r\Delta A\left(x\right)dx$

 Fast det blir ju ingen vidare härledning om man använder formeln för cirkelns area för att härleda cirkelns area, eller hur?

Vad man brukar göra är att inse att när $\Delta x$ blir litet nog kommer omkretserna vara nästan lika långa både till höger och vänster och då kan $\Delta A$ "vecklas ut" till en rektangel och kan därför beräknas med höjden gånger basen.

Hej!

Om $\Delta x$ är ett litet positivt tal så är arean för cirkelringen ($\Delta A$) ungefär samma sak som arean hos en rektangel vars bas är $2\pi x$ och vars höjd är $\Delta x$.

    $\displaystyle\Delta A \approx 2\pi x \Delta x.$

Cirkelns area ($A$) får som en summa av flera stycken cirkelringars area

    $\displaystyle A = \int_{x=0}^{r} \Delta A$

det vill säga

    $\displaystyle A = \int_{x=0}^{r}2\pi x \, dx = \pi r^2.$

AlvinB skrev:

tomast80 skrev:

Känns som du börjat lite fel.

Följande gäller:

$\Delta A = \pi (x+\Delta x)^2-\pi x^2$

Vidare är:

$A\left(r\right)={\int }_0^r\Delta A\left(x\right)dx$

 Fast det blir ju ingen vidare härledning om man använder formeln för cirkelns area för att härleda cirkelns area, eller hur?

Vad man brukar göra är att inse att när $\Delta x$ blir litet nog kommer omkretserna vara nästan lika långa både till höger och vänster och då kan $\Delta A$ "vecklas ut" till en rektangel och kan därför beräknas med höjden gånger basen.

Bra poäng! Gick lite snabbt där...

Min beräkning är visserligen korrekt, men svarar som sagt tyvärr inte på frågan... 

Ditt och Albikis förslag är bättre!

Albiki skrev:

Hej!

Om $\Delta x$ är ett litet positivt tal så är arean för cirkelringen ($\Delta A$) ungefär samma sak som arean hos en rektangel vars bas är $2\pi x$ och vars höjd är $\Delta x$.

    $\displaystyle\Delta A \approx 2\pi x \Delta x.$ 

Hur kom du fram till just det sambandet? Jag hänger riktigt med på just det steget. 

Veckla ut cirkelringen till en rektangel, och tänk.

Albiki skrev:

Veckla ut cirkelringen till en rektangel.

 Jag tänker att man efter har vecklat ut cirkelringen till en rektangel så kommer höjden vara $∆x$ eftersom det i representerar radien i cirkelringen. Sedan tänker jag att om $∆x$ hade varit 1 så hade rektangelns area varit lika stor som basen och eftersom man från början vecklade ut cirkelringen till en rektangel så borde man kunna få fram omkretsen på basen genom att använda omkretsen för en cirkel dvs $2\mathrm{\pi r}$

le chat skrev:

Sedan tänker jag att om Δx hade varit 1 så hade rektangelns area varit lika stor som basen och eftersom man från början vecklade ut cirkelringen till en rektangel så borde man kunna få fram omkretsen på basen genom att använda omkretsen för en cirkel dvs 2πr

Om du menar "...så borde man få fram längden på basen genom att använda omkretsen för en cirkel dvs 2πx ..." så tänker du alldeles rätt.

EDIT: Tog bort ett felplacerat Δ.

Nu förstår jag resonemanget bakom men det jag inte förstår är vad boken egentligen menar med "....och sedan med hjälp av integration härleda formeln för hela cirkelns area $\mathit{A}\mathit{r}\mathbf{=}{\mathbf{\pi }}^{\mathbf{2}}$".  Vad menar man med $Ar= {\mathrm{\pi }}^2$?

le chat skrev:

 Vad menar man med $Ar= {\mathrm{\pi }}^2$?

 Det är en mycket bra fråga! 

Troligen (förhoppningsvis) är det ett tryckfel. De bör mena något i stil med

A(r) = π*r^2

Alla vet att en cirkel med radie r har en area som är $\pi r^2$, så att cirkelns area generellt skulle vara $\pi^2$ är uppenbart fel; det finns en cirkel som faktiskt har denna area. Vilken cirkel?

En snabb fråga, varför är ett av integrationsgränserna 0 borde inte vara 1 eftersom vi vill att $△x$ ska vara ett litet positivt tal?

Vi vill ju summera alla små cirkelringar för att tillsammans utgöra hela cirkelns area. Det är ju $x$-värdet som avgör var i cirkeln cirkelringen kommer, och eftersom vi vill ha med alla cirkelringar som ligger inom cirkeln måste $x$ variera mellan noll och $r$. Skulle $x$ variera mellan $1$ och $r$ skulle vi inte få med de innersta cirkelringarna med radie mindre än $1$.