Ett timglas i form av två koner (Matematik/Matte 4)

Början är bra, men din derivata stämmer inte.

Höjden h beror på radien r, så h är inte en konstant i uttrycket för V.

Använd den givna informationen för qtt uttrycka h med hjälp av r och ersätt sedan h med detta uttryck i V.

Sedan kan du derivera med avseende på r.

Uppgiften är till formen väldigt lik denna.

jag förstår inte vad du menar med "Höjden h beror på radien r, så h är inte en konstant i uttrycket för V"

Se bild. Då r = 3 så är h = 0. Då r = 0 så är h = 10.

Alltså beror höjden h (linjärt) på radien r, dvs h = h(r).

Ta fram detta samband mellan h och r.

Vart i grafen är r=0? Hur kommer du fram till att ”Alltså beror höjden h (linjärt) på radien r, dvs h = h(r).”

Är du men på att kondens radie är 3 cm då höjden är 0 cm?
Är du med på att konens radie är 0 cm då höjden är 10 cm?
Är du med påatt det betyder att kondens radie beror på höjden?
Är du med på att konens radie beror på höjden enligt h = 10 - 10r/3 (där 0 $\leq$ r $\leq$ 3)?

1. Nej jag är inte med på det

2. Nej är inte heller med på

Den röda linjen illustrerar hur höjden och radien är beroende av varandra.

Det är en rät linje på formen h = kr + m.

Då r= 0 så är h = 10
då r = 3 så är h = 0
Därav h = 10 - 10r/3

Jag hängde faktiskt inte med på din förklaring. Jag förstår inte heller varför du har ritat en röd linje längst med kanten av konerna

Sanden som ligger i konen har formen av en stympad kon (dvs en kon där man har skurit av toppen).

Sandytan har formen av en cirkel som ligger på en höjd h ovanför botten.

Denna cirkel har en radie som vi kallar r.

I början, när konen nästan inte innehåller någon sand alls, är denna radie 3 cm. Sandytans höjd är då 0 cm. Det betyder att då h= 0 cm så är r = 3 cm. Det motsvarar punkten (3; 0) i det koordinatsystem jag har ritat.

När konen fylls på med sand så kommer sandytan att höjas, dvs h kommer att öka. Samtidigt kommer sandytans radie att minska.

Exempel: Då sandytan ligger på höjden 5 cm så är cirkelns radie 1,5 cm. Dvs då h = 5 cm så är r = 1,5 cm. Det motsvarar punkten (1,5; 5) i det koordinatsystem jag har ritat.

Då konen är helt full med sand, dvs då sandytans höjd är 10 cm så är cirkelns radie 0 cm (då h = 10 cm så är r = 0 cm). Det motsvarar punkten (0; 10) i det koordinatsystem jag har ritat.

Det här förstod jag inte riktigt ”När konen fylls på med sand så kommer sandytan att höjas, dvs h kommer att öka. Samtidigt kommer sandytans radie att minska.”

Titta på konen uppifrån. Då ser du en cirkulär sandyta.

Denna sandyta har en viss radie.

I början är denna radie 3 cm. Ju mer konen fylls med sand, desto mindre blir denna sandytas radie.

Kan du förklara vad du har gjort?

Varifrån kommer 9,88 i täljaren och vart tog h vägen?

Är det rätt uträkning?

Yngve skrev:
Kan du förklara vad du har gjort?

Varifrån kommer 9,88 i täljaren och vart tog h vägen?

Bilden i #13 var inte min uträkning utan jag fick hjälp av en räknestuga digitalt här på PA men jag undrar om min senaste uträkning är rätt

Varför la du då ut den bilden?

Katarina149 skrev:
Är det rätt uträkning?

Räknar du höjden h uppåt eller neråt?

Jag räknar att h är höjden av triangeln i toppen . Där jag har svart markerat är höjden h

Yngve skrev:
Varför la du då ut den bilden?

För jag trodde den skulle vara tillhjälp men det var den inte

Katarina149 skrev:
Jag räknar att h är höjden av triangeln i toppen . Där jag har svart markerat är höjden h

OK, du har alltså lagt koordinatsystemet så att h pekar neråt, på detta sätt:

Så kan du göra, men du får då vara vaksam på att ditt h inte är samma sak som "sandytans höjd över botten" som de nämner i uppgiften.

Till exempel:

När sanden fylls på uppifrån så ökar ju sandytans höjd över botten, medans ditt h då minskar.
När sandytans höjd över botten är 4 cm så är ditt h 6 cm.

Ja det är jag medveten om. mitt "h" är där jag markeade med svart. Är min uträkning rätt eller fel?

Nej din uträkning stämmer inte. Jag ser två problem.

Om $V$ betecknar sandvolymen i det nedre glaset så gäller det inte att $V=\frac{3\pi h^3}{100}$ om du väljer $h$ på det sättet.

Du bör alltid kontrollera dina matematiska modeller av verkligheten.

I det här fallet:

Vad blir $V(0)$ ? Och vad borde $V(0)$ bli?
Vad blir $V(10)$ ? Och vad borde $V(10)$ bli?

Istället borde det vara $V(h)=\frac{\pi 3^2\cdot10}{3}-\frac{3\pi h^3}{100}$ , dvs att sandvolymen ( $V$ ) är lika med konens totala volym minus den del lägst upp i konen som fortfarande är fylld med luft ( $V_1$ ):

=========

Dessutom är $V'(4)$ inte intressant i sammanhanget utan det är istället $V'(6)$ som vi bör använda i uträkningen. Detta eftersom $h=6$ då sandytans höjd är 4 cm ovanför botten.

Allt stämmer utom sista raden.

V'_sand är lika med dV/dh, inte dh/dt.

(Enheten för dV/dh är cm³/cm, dvs cm², inte cm/s.)

Och du behöver använda kedjeregeln dV/dt = (dV/dh)•(dh/dt), där dV/dt är känd och du har beräknat dV/dh i din senaste uträkning.

Okej. Då förstår jag! Tack för hjälpen :)