Ett radioaktivt preparat sönderfaller så att efter 60 år återstår 25% ?

a) Om vi kallar förändringsfaktorn varje år för x och vi kallar den ursprungliga mängden preparat för C. Då vet vi att efter ett år så finns det Cx kvar. Efter två år är det $Cx\cdot x = Cx^2$ kvar. Efter tre år är det $Cx^2 \cdot x = Cx^3$ kvar. Efter sextio år är det $Cx^{60}$ kvar.

Nu vet vi att efter 60 år så återstår det 25%, alltså måste det gälla att

$Cx^{60} = 0.25C$

Så från detta kan du lösa ut vad förändringsfaktorn x är.

Har du räknat med uppgifter om bankränta? Det är nästan samma sak, särskilt nu med minus-ränta...

a) Från början har vi a gram av prepararet. Efter 60 år är det bara 25 % av det kvar, d v s då finns det bara 0,25 a.

Om man kallar förändringsfaktorn för x, så vet man att $a \cdot x^{60} = 0,25 \cdot a$. Förmodligen har du löst liknande uppgifter nyligen.

Hej Smaragdalena och Stokastisk. Det verkar som om ni utgår lite från samma teori så vi tar allt här! :) 

Jo jag har faktiskt räknat ränta och allt vad det innebär i kapitel 2 men jag vet inte hur jag kan koppla det till detta problem Smaragdalena... :) 

Jag börjar väl lite så smått här: 
$$\begin{gathered} a * x^60 = 0.25a \\ a - 0.25a * x^60 = 0.25a - 0.25a \\ 0.75a * x^60 \end{gathered}$$

Är jag rätt på det eller hur ser det ut egentligen... 

Nej det blir inte rätt. Säg att vi subtraherar 0.25a från båda sidorna, då har du ju

$ax^{60} - 0.25a = 0.25a - 0.25a$

$ax^{60} - 0.25a = 0$

Nu kan vi inte bara dra bort så att vi få $0.75a x^{60}$ i VL. Detta eftersom multiplikation ska räknas först, sedan subtraktion. Så vi räknar alltså $ax^{60}$ först, sedan från det resultatet drar vi bort $0.25a$. Vi tar inte först $a$ och sedan drar bort $0.25a$ och sedan multiplicerar det med $x^{60}$.

Utan sättet att lösa ekvationen

$ax^{60} = 0.25a$

på är att vi dividerar båda sidorna med $a$. Då får vi kvar

$x^{60} = 0.25$

Kan du sedan lösa denna?

Om man vill formulera det med ränta och liknande så skulle man kunna formulera om problemet så här. Säg att vi har en massa pengar på en bank och att banken och girig så dom vill ha ett visst antal procent varje år av den mängd pengar vi har hos dem. Efter 60 år så har vi bara 25% kvar av våra pengar vi hade från början, hur många procent per år tar banken av våra pengar?

Ahaaaa, gud det mönstret såg jag av någon märklig orsak inte denna gång... :( 

I alla fall... 

 $$\begin{gathered} x^60 =0.25 \\ Blir det inte då: \sqrt[60]{0.25} = 0.{25}^{1/60 }= 1,070 \\ x = 1.070... \end{gathered}$$

Det stämmer inte med facit i boken... 

Nu ser det bättre ut, men det stämmer inte att $0.25^{1/60}= 1.070$. Utan du har istället att

$x = 0.25^{1/60} \approx 0.9772$

Nu måste du däremot tänka på vad dom frågar efter. Dom frågar efter hur många procent som försvinner varje år. Men x beskriver förändringsfaktorn, så hur får du en procentuella minskningen från förändringsfaktorn?

När du fick 1.070 så räknade du nog $60^{1/60}$.

Oj ja just precis. Har gjort det allt för många gånger nu och detta är även sista matematikuppgiften för idag så det blir lite svårt och hålla koll på allt... :D 

$$\begin{gathered} 0.{25}^{1/60 }=0.9772 \\ X = 0.9772 \\ Minskningen i procent kopplar jag från tidigare uppgift att jag ska ta 0.9772 - 1 vilket ger mig resultatet -0.0228 och i procent blir detta \approx 2.3 \% \end{gathered}$$

Ja sådär kan man göra, då innebär alltså -0.0228 att det minskar med 2.3% varje år.

Kan du då beräkna b) uppgiften?

Kan du bara klargöra för mig Stokastisk varför jag egentligen tar (-1) som jag gjorde ovan och även i andra uppgifter som jag gjort det på... Jag förstår inte alls riktigt vad den står för och det känns som om jag bara kan kugga på provet om jag inte varför jag egentligen tar (-1) ?? 

Finns det en någorlunda tydligare metod?

Säg att vi har x från början. Om vi vill ta 2.8% av detta så är det 0.028x.

Så om vi vill minska x med 2.8% så ska vi alltså dra bort 2.8% av x från x. Alltså

$x - 0.028x = (1 - 0.028)x = 0.972x$

Så faktorn 0.972 beskriver alltså hur mycket som är kvar efter förändringen. Om vi vill veta hur mycket som försvann så kan vi ta 1 - 0.972 = 0.028, eftersom det blir en hel minus det som är kvar.

Nu tog du 0.972 - 1 = -0.028 så det blir lite "bakvänt" men inte felaktigt direkt.

Tack för den tydliga förklaringen! 

Angående b uppgiften:

Den är ju mycket tydligare. Jag vet ju att efter 60 år så kvarstår det 25% av det ursprungliga, då måste dubbelt så mindre i antal år öka dubbelt så mycket i procentmängd, alltså 50% efter 30 år! 

Det är helt korrekt att det blir 50%. Men jag är inte helt säker på att din förklaring är helt rätt, skulle du exempelvis kunna beräkna hur mycket som finns kvar efter 15 år?

Kan jag inte följa den förändringsfaktor som jag fick när jag skulle räkna efter 60 år? 

$$\begin{gathered} Alltså: 0.{9772}^{1/15 }= 0.9985 \\ x = 0.9985 -1 = -0.0015 \\ -0.0015 = 0.15 \% \end{gathered}$$

Om det inte skulle vara rätt så kan jag utföra precis samma beräkning som tidigare och veta vad det är efter 15 år... Men det kanske är rätt? :)

Nja det där blev inte riktigt rätt. Utan du har att vi ska höja upp förändringsfaktorn i 15, inte i 1/15.

Eftersom förändringsfaktorn är $0.25^{1/60}$ så har vi att

$\left(0.25^{1/60}\right)^{15} = 0.25^{15/60} = 0.25^{1/4} \approx 0.707$

Så alltså finns det kvar ungefär 71% och 29% har försvunnit. Om vi kollar hur det blir efter 30 år så är det ju

$\left(0.25^{1/60}\right)^{30} = 0.25^{30/60} = 0.25^{1/2} = 0.5$

Så efter hälften av åren, alltså 30 år, så har vi alltså att förändringsfaktorn är roten ur förändringsfaktorn efter 60 år.

Ahaa! Nä vi har inte lärt oss om hur vi kan upphöja och sedan upphöja ännu en gång i samma beräkning vilket var väldigt obekant för mig. Nu vet jag det också Stokastisk, det var hur som helst en rätt så krånglig uppgift enligt mig! :)