Ett par kluriga integraler av trigonometriska funktioner

Uppgiften jag har fastnat på är i två delar och består av att man ska beräkna integralerna:

a) $\int_{π / 6}^{π / 3} \sin x / \cos x d x$

b) $\int_{0}^{π / 4} (1 - \sin^{2} x) d x$

Problemet är att jag inte har någon aning om hur man ska kunna integrera dessa funktioner. Det står ingenting i min lärobok eller i formelbladet om det. Jag har försökt att skriva om funktionerna på en sådan form att det går att använda formelbladet, men lyckas inte. Tack på förhand för eventuell hjälp!

att hitta primitiv till sinx/cosx är enkelt om man kommer på att derivatan av cos(x) = -sin(x) vi har alltså nåt som ser ut nästan som

g'(x)/g(x) som får oss att tänka på vad derivatan av ln(x) är

Den andra integralen är det lämpligt att använda ngn trigonometrisk identitet för att skriva om till ngt mer lättintegrerat.

(Om man inte kommer på knepet med ln i den första integralen är substitution en framkomlig väg)

Ture skrev:
att hitta primitiv till sinx/cosx är enkelt om man kommer på att derivatan av cos(x) = -sin(x) vi har alltså nåt som ser ut nästan som

g'(x)/g(x) som får oss att tänka på vad derivatan av ln(x) är

På denna första uppgiften förstår jag vad du menar, men inte riktigt hur jag ska kunna använda informationen för att komma vidare.

På den andra försökte jag med de trigonometriska identiteterna i mitt formelblad men hittade ingen som passade. Att man ska använda substitution tycker jag är väldigt konstigt då det inte lärs ut i Ma4.

den första: vad får du om du deriverar ln(sin(x)) ?

den andra, använd den här identiteten:

sin²(x) = (1-cos(2x))/2

Ture skrev:
den första: vad får du om du deriverar ln(sin(x)) ?

den andra, använd den här identiteten:

sin²(x) = (1-cos(2x))/2

Första: Det blir sinx/cosx, men jag har dock ingen aning om hur jag skulle kommit fram till det.

Andra: Det där funkar ju absolut, men den identiteten finns inte med i formelbladet och är inget man fått lära sig, så jag tror inte det är "meningen" att man ska använda den.

a) Om man gör variabelsubstitiution i Ma4 (vilket jag inte vet) så sätt t=cosx. Då blir dt=-sinx dx...

b) identiteten som Ture tipsade om kan härledas ur trigonometriska ettan och formeln för dubbla vinkeln för cos(2x). Dessa har du säkert på formelbladet?
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \cos^{2} x - \sin^{2} x + \sin^{2} x = 1 - \sin^{2} x \cos (2 x) = 1 - 2 \sin^{2} x (d e n n a k a n s k e f i n n s d i r e k t p å f o r m e l b l a d e t ?) \sin^{2} x = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}$

Finns primitiv till tan(x) på formelbladet?

Pelle skrev:
a) Om man gör variabelsubstitiution i Ma4 (vilket jag inte vet) så sätt t=cosx. Då blir dt=-sinx dx...

b) identiteten som Ture tipsade om kan härledas ur trigonometriska ettan och formeln för dubbla vinkeln för cos(2x). Dessa har du säkert på formelbladet?
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \cos^{2} x - \sin^{2} x + \sin^{2} x = 1 - \sin^{2} x \cos (2 x) = 1 - 2 \sin^{2} x (d e n n a k a n s k e f i n n s d i r e k t p å f o r m e l b l a d e t ?) \sin^{2} x = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}$

Aha! Den du nämnde där fanns faktiskt på formelbladet. Tack! Precis vad jag behövde hjälp med.

För att svara på Pelles fråga: Primitiv till tan(x) finns inte med. Jag kör med det officiella formelbladet för NP i Ma4.

Svara

Visa senaste svar