Ett för mycket tyvärr!

Hej Daja, 

Planets ekvation är $3x-2y+z=12$

Hade planets ekvation varit $3x-2y+z=0$ hade din lösning (nästan) fungerat.

Lägg en vektor mellan en punkt P i planet och punkten Q (3,-1,0). Denna vektor är $P-Q$. Eftersom alla punkter i planet uppfyller $P\cdot \vec{n}=12$ får vi

$d=\frac{|\vec{PQ}\cdot \vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|P\cdot\vec{n}-Q\cdot\vec{n} |}{||\vec{n}||}=\frac{|12-11|}{||\vec{n}||}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

Guggle skrev :

Hej Daja, 

Planets ekvation är $3x-2y+z=12$

Hade planets ekvation varit $3x-2y+z=0$ hade din lösning (nästan) fungerat.

Lägg en vektor mellan en punkt P i planet och punkten Q (3,-1,0). Denna vektor är $P-Q$. Eftersom alla punkter i planet uppfyller $P\cdot \vec{n}=12$ får vi

$d=\frac{|\vec{PQ}\cdot \vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|P\cdot\vec{n}-Q\cdot\vec{n} |}{||\vec{n}||}=\frac{|12-11|}{||\vec{n}||}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

Tack så himla mycket, den här har lösning med punktprodukt har jag inte tänkt på.

Följde dina steg och i stort sett följer jag. Sista fråga: varför är min vektor $\vec{PQ$, och inte tvärtom? Varför är det inte $Q$-koordinater minus $P$-koordinater?

dajamanté skrev :

Tack så himla mycket, den här har lösning med punktprodukt har jag inte tänkt på.

Följde dina steg och i stort sett följer jag. Sista fråga: varför är min vektor $\vec{PQ$, och inte tvärtom? Varför är det inte $Q$-koordinater minus $P$-koordinater?

Ja, det är helt rätt, vektorn $\vec{PQ}=Q-P$ och vektorn $\vec{QP}=P-Q$. Välj den riktning som känns mest naturlig för dig.

Lösningsgången är välja en punkt (vilken som helst!) i planet och sedan lägga en vektor mellan punkten och planet, eller mellan planet och punkten. Slutligen söker du längden av projektionen på planets normalvektor. Det är just därför jag satt ett absolutbeloppstecken runt |12-11|.

Skalärprodukten blir negativ om du väljer planets normalvektor motriktad vektorn mellan planet och punkten.  Men längden är fortfarande samma. Vi visar med punkten $(3,-1,0)$ och den första punkten i planet $(2,-3,0)$ (båda ges i uppgiften).

En vektor mellan punkterna är $(2,-3,0)-(3,-1,0)=(-1,-2,0)$

Delen av vektorn som är parallell med planets normal är $\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{||\vec{n}||}=\frac{(-1,-2,0)\cdot(3,-2,1)}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

Man kan också vända riktning på vektorn $(3,-1,0)-(2,-3,0)=(1,2,0)$. Nu förväntar vi oss att få exakt samma storlek, fast med motsatt riktning (tecken):

$\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{||\vec{n}||}=\frac{(1,-4,0)\cdot(3,-2,1)}{\sqrt{14}}=\frac{-1}{\sqrt{14}}$

Puh, det stämmer, vilken tur!

Eftersom vi bara är intresserade av absolutbeloppet (avståndet mellan planet och punkten är oberoende av om vi går från punkten till planet eller från planet till punkten) spelar tecknet ingen roll.

Ett annat sätt att tolka det vi gjort är att vi har  lagt en vektor mellan punkten och en valfri punkt i planet och sedan använt projektionsformeln och slutligen bara är intresserat oss för absolutbeloppet av den resulterande vektorn.

Just det. Jag håller fast vid små detaljer utan att se den stora bilden som vanligt. Vi tittar på en absolut belopp... Såklart spelar det inga roll hur vektoren orienteras *facepalm*.

Hej!

De tre punkterna $A(2,-3,0)$ och $B(2,-2,2)$ och $A+v_{1} = (3,-2,-1)$ bildar två vektorer

    $\displaystyle u = B-A = (0,1,2) \text{ och } w = (A+v_{1}-A) = v_{1} = (1,1,-1)$

som spänner upp planet. Planets normal ($n$) ges av den vektoriella produkten av dessa två vektorer.

    $\displaystyle n = u \times w = (3,-2,1).$

Avståndet ($d$) mellan punkten $D(3,-1,0)$ och planet är lika med längden hos projektionen av vektorn $AD = (1,2,0)$ på normalvektorn.

    $\displaystyle d = \left|\frac{AD \cdot n}{|n|^2}n\right| = \frac{|AD\cdot n|}{|n|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.

Albiki

Tack Albiki!

Jag också alltid försöker bygga nya punkter när en riktningsvektor räcker...