Epsilon-delta bevisföring för limes

Visa med hjälp av definitionen för limes att $\lim_{x \to a} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$ , a>0 .

Så här har jag gjort:

Givet $ε > 0$ måste vi hitta ett $δ > 0$ så att:

$0 < |x - a| < δ medför |\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{a}}| < ε$ .

$|\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{a}}| = |\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{\sqrt{ax}}| = \frac{|x - a|}{|\sqrt{a x}| |\sqrt{x} + \sqrt{a}|}$

Tanken är nu att $\frac{1}{|\sqrt{a x}| |\sqrt{x} + \sqrt{a}|}$ inte kan bli för stort om $|x - a|$ väljs tillräckligt litet. Till exempel, om $|x - a| < \frac{a}{2}$ , då: $\frac{a}{2} < x < \frac{3 a}{2}$

Således: $|x| > \frac{a}{2} \to \frac{1}{|x|} < \frac{2}{a}$

Men jag har kört fast med $\frac{1}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}|}$ . Jag vet inte hur jag ska gå vidare?

Tack på förhand!

1/(sqrt(a)+sqrt(x))<1/sqrt(a)

Hej KriAno,

Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde låter dig skriva följande.

$\sqrt{a} x + a\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\sqrt{a}x\cdot a\sqrt{x}} = 2(ax)^{3/4}.$

parveln skrev:
1/(sqrt(a)+sqrt(x))<1/sqrt(a)

Ja, det stämmer. Eftersom $\frac{1}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}|} < \frac{1}{\sqrt{a}}$ , då:

$\frac{|x - a|}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}| |\sqrt{a x}|} = \frac{|x - a|}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}| |\sqrt{x}| \sqrt{a}} < \frac{2 |x - a|}{a \sqrt{a} \sqrt{a}} = \frac{2 |x - a|}{a^{2}} < \frac{1}{a} e f t e r s o m |x - a| < \frac{a}{2}$

Om vi således väljer $δ = m i n (\frac{a}{2}, a ε)$ , då:

$0 < | x - a | < δ medför |\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{a}}| < \frac{1}{a} \cdot aε = ε$

V.S.B.

Albiki skrev:
Hej KriAno,
Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde låter dig skriva följande.
$\sqrt{a} x + a\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\sqrt{a}x\cdot a\sqrt{x}} = 2(ax)^{3/4}.$

Det ska förstås stå

Hej Marx!

Albiki skrev:
Hej KriAno,
Olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde låter dig skriva följande.
$\sqrt{a} x + a\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\sqrt{a}x\cdot a\sqrt{x}} = 2(ax)^{3/4}.$

Ok! Nu har jag lärt mig någonting helt nytt. Tack!

Svara

Visa senaste svar