Epsilon-delta bevisföring för lim

Visa med hjälp av definitionen för limes att $\lim_{x \to a} \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{1}{a^{2} + 1}$ .

Så här har jag gjort:

Givet $ε > 0,$ vi måste finna $δ > 0$ så att:

$0 < |x - a| < δ$ medför $|\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{a^{2} + 1}| < ε$

$|\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{a^{2} + 1}| = |\frac{a^{2} + 1 - x^{2} - 1}{(x^{2} + 1) (a^{2} + 1)}| = |\frac{a^{2} - x^{2}}{(x^{2} + 1) (a^{2} + 1)}| = \frac{|- (x^{2} - a^{2})|}{|(x^{2} + 1) (a^{2} + 1)|} = \frac{|x^{2} - a^{2}|}{|x^{2} + 1| |a^{2} + 1|} = \frac{|x - a| |x + a|}{|x^{2} + 1| |a^{2} + 1|}$

Tanken är att $\frac{|x + a|}{|x^{2} + 1|}$ kan inte bli för stort om $|x - a|$ är tillräckligt litet. Till exempel, om $|x - a| < 1$ , sen:

$|x + a| = |(x - a) + 2 a| = |x - a| + 2 a < 2 a + 1$

Men nu undrar jag hur jag ska fortsätta vidare?

Tack på förhand!

Hej Marx,

Du kan göra den övre uppskattningen $\frac{1}{|x^2+1||a^2+1|} \leq 1$ eftersom $a^2\geq 0$ och $x^2\geq 0.$

Då blir differensen

$\leq |x+a| |x-a| \leq 2\max(|x|,|a|) \cdot |x-a| < \epsilon$

om $|x-a| < \frac{\epsilon}{2\max(|x|,|a|)}.$

Albiki skrev:
Hej Marx,
Du kan göra den övre uppskattningen $\frac{1}{|x^2+1||a^2+1|} \leq 1$ eftersom $a^2\geq 0$ och $x^2\geq 0.$
Då blir differensen
$\leq |x+a| |x-a| \leq 2\max(|x|,|a|) \cdot |x-a| < \epsilon$
om $|x-a| < \frac{\epsilon}{2\max(|x|,|a|)}.$

Eller kan man tänka så här istället?

Eftersom $a^{2}, x^{2} \geq 0$ då $\frac{1}{|x^{2} + 1| |a^{2} + 1|} \leq 1$ . Detta medför att:

$\frac{|x - a| |x + a|}{|x^{2} + 1| |a^{2} + 1|} < (2 a + 1) |x - a| < 2 a + 1$ om $|x - a| < 1$ .

Om vi således väljer $δ$ så att det blir min(1, $\frac{ε}{2 a + 1}$ ), då:

$0 < |x - a| < δ m e d f ö r |\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{a^{2} + 1}| < (2 a + 1) \cdot \frac{ε}{2 a + 1} = ε$

V.S.B.

Albiki skrev:
Hej Marx,
Du kan göra den övre uppskattningen $\frac{1}{|x^2+1||a^2+1|} \leq 1$ eftersom $a^2\geq 0$ och $x^2\geq 0.$
Då blir differensen
$\leq |x+a| |x-a| \leq 2\max(|x|,|a|) \cdot |x-a| < \epsilon$
om $|x-a| < \frac{\epsilon}{2\max(|x|,|a|)}.$

Den här raden $\leq | x + a | | x - a | \leq 2 \max (| x |, | a |) \cdot | x - a | < ϵ$ hänger jag inte med. Kan du förklara varför det ska vara $2 \max (| x |, | a |)$ ?

Triangelolikheten ger

$|x+a|\leq|x|+|a|\leq 2\max(|x|,|a|).$

Albiki skrev:
Triangelolikheten ger

$|x+a|\leq|x|+|a|\leq 2\max(|x|,|a|).$

Ja, helt klart!...Tack!

Svara

Visa senaste svar