Epsilon-delta
Hej, jag har denna gränsvärde
Jag försöker ta reda på epsilon men har inte sett några exempel på hur man gör med cos eller sin. En gissning jag har är x < arccos(*x). Men det borde inte stämma tror jag.
–1 ≤ cos x ≤ 1 så
– 1/x ≤ uttrycket ≤ 1/x
Vad händer med vänstra och högra leden när x går mot oändligheten?
Höger och vänsterleden går mot noll. Innebär det att epsilon är 1/x?
Om uppgiften verkligen var att få fram gränsvärdet med epsilonmetodik kan du välja ett godtyckligt litet eps. och visa att för w = 1/(2 eps) är
–eps < – 1/x < 1/x < eps så snart x > w.
Nej, epsilon är inte 1/x.
Det är ett spel. Först väljer jag epsilon. Sedan hittar du ett tal w som är tillräckligt stort för att 1/x ska vara mindre än epsilon för alla x > w.
Men hela spelet går ut på att jag måste välja först. Jag kan välja ett mindre epsilon, men då väljer du ett större w.
Frågan lyder såhär.
Använd ett datorprogram för att rita upp funktionen g(x) = 1/x *(cos(x)) för stora x.
Ungefär hur stort måste N vara för att g(x) inte ska avvika från 0 med mer än ε = 0, 1?
Hur blir det istället om ε = 0, 01?
I detta fall så går höger- och vänsterleden mot noll. Vi har alltså
a < (cosx)/x < b
Om a och b går mot noll så måste ledet i mitten också göra det.
Men du har ställt en annan fråga, jag tittar på den
Sorry datorn lade av. Återkommer
Yes, det går bra.
(cosx)/ x går mot noll. Men jag ska ta hänsyn till stora x och då är 1/x relevant. Blir det då 1/x < alltså 1/x < 0,1? Hur blir det med N?
Ja du är på rätt väg. Först väljer du epsilon, säg 0,1. Nu tittar vi på (cosx)/x. Det är en böljande kurva som närmar sig x-axeln. Den avviker aldrig mer än 1/x från x-axeln. Någonstans för x = 1/0,1 = 10 så ligger kurvan närmare x-axeln än epsilon.
Vi drar till med N = 11. I så fall vet vi att ±epsilon stänger in kurvan för alla x > N.
Sedan har vi epsilon = 1 / (1miljard)
Väljer du N = (1/eps) +1 = 1000000001 så ligger garanterat kurvan i det tunna bandet
–eps < y < epsilon när x > N
Så ett svar på frågan är
Till varje epsilon väljer jag N = 1/eps. +1
Det är för komplicerat för mig att förstå. Kan du underlätta det lite mer?
Varför är N = 11? Vart kommer +1 ifrån? Hur vet jag ifall N ligger i kurvan eller inte?
Med en grafritare kanske du kan se att för några godtyckliga epsilon kan du alltid välja
N = 1/eps +1
Var inte 1/x < eps. Hur kommer det sig att det är 1/eps.
Jag har denna framför mig men vet inte hur jag ska läsa av det du säger.
Detta är svårt att förstå även om jag är i samma rum och ritar och pekar.
Men bokens förslag tycker jag är bra. Rita kurvan. Titta på x > 10. Hur långt från kurvan kommer vi som längst, till höger om x = 10. Titta på kurvan till höger om x = 100, samma fråga.
Jättebra. Kan du lägga in y = 1/x och y = –1/x i samma system?
Jag ser nu varför du lägger till +1. y är lika med noll då. Vilket betyder att den skär eller går igenom x-axeln.
Nej,
Jag lägger till 1 för att Säkert vara till höger om ett känsligt fall. Jag kan lägga till tusen om jag vill.
Tänk att du har en riktigt bred penna. Bredden är 2 epsilon. Drag pennan längs x-axeln så att det blir ett band med x-axeln i mitten. Hur stort behöver x vara för att hela kurvan åt höger ska ligga i bandet?
https://www.desmos.com/calculator/wnoajuhtkf
När x = 11 så är vi mitten av de två yttre kurvorna. Ska tänka på frågan du skrev precis.
Det var otur. Det var inte meningen att hamna i mitten, det lurar dig att tänka fel.
Jag tror x måste vara 0,5 för att hela kurvan åt höger ska ligga i bandet.
Du tänker nog rätt men skriver fel. x är Stort, 0,5 är ointressant. 0,5 är intressant i y-led.
Men säg att epsilon är 0,05. Din penna är så bred att du färgar ett band 0,05 över och under x-axeln. Hur stort x krävs för att kurvan alltid ska llgga i bandet?
1/eps = 20. Tittar du på kurvan ser du att vid x = 19 ligger kurvan på 0,52 ungefär, alltså utanför bandet. Vi lägger på litet grand för att vara på säkra sidan. 1/eps +1 = 21.
Till höger om x = 21 gäller säkert att –eps < (cosx)/x < +eps
Dvs kurvan ligger helt i färgade bandet.
x = 19,142 krävs för att kurvan ska ligga i bandet.
Men om 20 ligger i bandet varför behöver man lägga till 1?
Egentligen tror jag att vi ska gå till definitionen.
Vi ska visa att (cos x)/x går mot NOLL när x går mot oändligheten.
Det betyder att till varje positivt epsilon kan vi hitta ett N så att
NOLL – epsilon < (cos x) /x < NOLL + epsilon
för alla x större än N
itsanii4 skrev:x = 19,142 krävs för att kurvan ska ligga i bandet.
Men om 20 ligger i bandet varför behöver man lägga till 1?
BRA fråga
Bara för att slippa räkna ut x = 19,142. Vi lägger till 1 eller dubblar, whatever. Vi ska säkert vara på rätt sida. Vi har en oändlighet att slösa med, ingen mening att knussla.
Jag förstår nu, innebär det att jag kan välja +2 om jag vill för att vara på säkra sidan?
Grejen är att jag får 20 när jag dividerar 1 med 0.05. Hur ska jag själv komma på att lägga till 1. Jag får ju inte 19.142
I min definition ovan gäller alltså att N = 1/eps räcker. Men det kan bli väldigt tight ibland, jag lägger på 1 så det inte ska bli något tjafs, och svarar att för x > N = 1/eps +1 gäller villkoret.
Jaha, eftersom 20 ligger för nära 19,142 lägger du till 1 för att vara säker.
itsanii4 skrev:Grejen är att jag får 20 när jag dividerar 1 med 0.05. Hur ska jag själv komma på att lägga till 1. Jag får ju inte 19.142
Grejen är att (cos x)/x är knölig. Vi tittar på 1/x i stället för (cos x) / x ligger aldrig utanför bandet när 1/x ligger innanför.
Och 1/x är Precis 0,05 för x = 20. Så därför tar vi ett steg till höger om 20
Oj skrev i din ruta, sorry
itsanii4 skrev:Jag förstår nu, innebär det att jag kan välja +2 om jag vill för att vara på säkra sidan?
Såg inte frågan. Ja, du kan ta +2tusen om du vill
Ok, I get it. Men istället för 0.05 kollar jag då med 0.1 och 0.01 som exempel då jag fick de i frågan.
Just det. För eps = 0,1 kan du välja N = 1/eps + 1 = 11
för eps = 0,01 kan du välja N = 100+1
för eps = 10^(–100) kan du välja N = en googol +1
Så N varierar mellan olika epsilon värden. T.ex. Med 0,05 fick vi 21 medan med 0.1 fick vi 11. Sättet att ta reda på N är detsamma.
Tack så mycket! Det måste ha varit svårt att förklara mycket såhär sent på kvällen. Jag ska samla mina tankar och så återkommer jag ifall jag har frågor om ämnet.
itsanii4 skrev:Så N varierar mellan olika epsilon värden. T.ex. Med 0,05 fick vi 21 medan med 0.1 fick vi 11. Sättet att ta reda på N är detsamma.
Ja men om du ska visa att 1 / (roten ur x) går mot oändl får du välja N = 1 / (eps^2) +1
Roligt att du orkade. Detta är svårt, har orsakat många psykbryt bland mattestud.
Hahaha har haft många idag men det löste sig tack vare din hjälp. Tack igen!
Tack själv
